Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/498

bornant à des valeurs approchées. Dans ce but, je remarque que, si l’on pouvait décomposer la formule du n^o X

${\frac {1+ae^{\zeta {\sqrt {-1}}}+be^{\eta {\sqrt {-1}}}}{1+ae^{-\zeta {\sqrt {-1}}}+be^{-\eta {\sqrt {-1}}}}}$

en facteurs de la forme

${\frac {1+\mathrm {A} e^{\alpha {\sqrt {-1}}}}{1+\mathrm {A} e^{-\alpha {\sqrt {-1}}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {1+\mathrm {B} e^{\beta {\sqrt {-1}}}}{1+\mathrm {B} e^{-\beta {\sqrt {-1}}}}},\quad \ldots ,$

on pourrait employer la méthode du n^o VIII ; on représenterait ces facteurs par $e^{2\lambda {\sqrt {-1}}},\ e^{2\mu {\sqrt {-1}}},$ et l’on obtiendrait les équations

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \left({\frac {\alpha }{2}}-\lambda \right)=&\mathrm {\frac {1-A}{1+A}} \operatorname {tang} {\frac {\alpha }{2}},\\\operatorname {tang} \left({\frac {\beta }{2}}-\mu \right)=&\mathrm {\frac {1-B}{1+B}} \operatorname {tang} {\frac {\beta }{2}},\quad {\text{etc}}.,\end{aligned}}$

puis

$e^{2\varkappa {\sqrt {-1}}}=e^{2\lambda {\sqrt {-1}}}\times e^{2\mu {\sqrt {-1}}}=e^{2(\lambda +\mu +\ldots ){\sqrt {-1}}},$

d’où

$\varkappa =\lambda +\mu +\ldots ,$

et enfin

$\varphi =\theta +\lambda +\mu +\ldots .$

XIV.

La plus grande valeur de l’angle $\lambda$ ne peut pas surpasser l’angle dont $\mathrm {A}$ est le sinus ; ce que l’on voit aisément par la théorie des maxima et des minima, en différentiant la formule qui détermine $\lambda ,$ ou encore au moyen de la construction du n^o III. En effet, l’équation

$\operatorname {tang} \left({\frac {\alpha }{2}}-\lambda \right)=\mathrm {\frac {1-A}{1+A}} \operatorname {tang} {\frac {\alpha }{2}}$

est semblable à la formule du n^o V, si l’on fait $\alpha =\theta -\psi ,\ \lambda =\zeta ,$ $\mathrm {A} ={\frac {q}{p}}\,;$ d’où il suit que si, dans notre figure, on fait $\mathrm {{\frac {BC}{AB}}=A,\ DBA} =\alpha ,$