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14. Et d’abord il est clair que, comme les lieux des astres dans le plan de projection sont aux mêmes points où ce plan est traversé par les rayons menés du centre de la sphère aux mêmes astres, les distances angulaires de ces astres vus du centre de la sphère seront les mêmes que si les astres étaient réellement placés dans le plan de projection. De sorte qu’à cet égard on peut regarder les lieux projetés comme les véritables lieux des astres.

Cela posé, supposons en premier lieu que l’un des astres dont on cherche la distance angulaire soit au point $\mathrm {C} ,$ et l’autre au point $\mathrm {P} \,;$ il est visible que la distance rectiligne $\mathrm {PC}$ de ces astres sera la tangente de la distance angulaire cherchée, puisque le centre de la sphère répond perpendiculairement au point $\mathrm {C}$ du plan de projection. De plus, l’arc de grand cercle qui joint les deux astres fera avec la partie boréale du cercle de latitude du premier astre un angle égal à $\mathrm {PCE} .$

Soit $\delta$ la distance angulaire des deux astres, et $\gamma$ l’angle de l’arc qui joint ces astres avec le cercle de latitude du premier astre $\mathrm {C} \,;$ on aura

$\operatorname {tang} \delta ={\sqrt {p^{2}+q^{2}}},\quad \operatorname {tang} \gamma ={\frac {q}{p}}.$

Donc, si l’on veut rapporter au même astre $\mathrm {C}$ le lieu apparent $\mathrm {P} '$ de l’autre astre, et qu’on désigne par $\delta '$ et $\gamma '$ les angles analogues à $\delta$ et $\gamma ,$ on aura de même

$\operatorname {tang} \delta '={\sqrt {p'^{2}+q'^{2}}},\quad \operatorname {tang} \gamma '={\frac {q'}{p'}}.$

Si l’on substitue à la place de $p,q$ et de $p',q'$ leurs valeurs (numéro précédent), on aura

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {tang} \delta \ =&{\frac {m^{2}+n^{2}}{l}},&\operatorname {tang} \gamma \ =&{\frac {n}{m}},\\\operatorname {tang} \delta '=&{\frac {\sqrt {(m-\varpi \mu )^{2}+(n-\varpi \nu )^{2}}}{l-\varpi \lambda }},\qquad &\operatorname {tang} \gamma '=&{\frac {n-\varpi \nu }{m-\varpi \mu }}.\end{alignedat}}$

Par ces formules on aura donc la position des lieux vrais et apparents de l’astre $\mathrm {P} ,$ dont la longitude est $a$ et la latitude $b,$ par rapport au lieu vrai de l’astre $\mathrm {C} ,$ dont la longitude est $\alpha$ et la latitude $\beta .$