Comme le rapport de
à
est exprimé en termes fort grands, on propose de trouver en des termes plus petits des rapports aussi approchés de celui-ci qu’il est possible.
On réduira donc la fraction
en fraction continue par la règle donnée dans le no 4, qui est la même que celle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres donnés on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}20929&86400&4=\alpha \\&{\underline {83716}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916ed7d23d42d9425ba7007f0dde9b89105be961)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}2684&20929&7=\beta \\&{\underline {18788}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420ab5c693d54c3aef8679426839b328ad1406d4)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}2141&2684&1=\gamma \\&{\underline {2141}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced0dc8e1d33c050ba9299a0a669bcf9163503db)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}543&2141&3=\delta \\&{\underline {1629}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9228644757fcd8b24aad32fc783d9499ed70dc7)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}512&543&1=\varepsilon \\&{\underline {512}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e281b2456d59159a049349c121bc13fc632384)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}31&512&16=\zeta \\&{\underline {496}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d3ef50620aafb7e68eb922e7b27f63b8d6261f)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}16&31&1=\eta \\&{\underline {16}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f6b9a35cc032d77909b89bad34a07a47697422)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}15&16&1=\theta \\&{\underline {15}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88af436d4d8128aa6fa52c48dcfdd0e9e29f47db)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|l}1&15&15=\iota \\&{\underline {15}}&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c822ca0034c13016a76ab3f98d1986fa53fd061d)
![{\displaystyle 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962)
Connaissant ainsi tous les quotients
on en formera aisément la série
de la manière suivante
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}4,&7,&1,&3,&1,&16,&1,&1,&15,\\{\frac {4}{1}},&{\frac {29}{7}},&{\frac {33}{8}},&{\frac {128}{31}},&{\frac {161}{39}},&{\frac {2704}{655}},&{\frac {2865}{694}},&{\frac {5569}{1349}},&{\frac {86400}{20929}},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53eee69cbf25de7bfd970a33a40e8b524d249d31)
où l’on voit que la dernière fraction est la même que la proposée.
Pour faciliter la formation de ces fractions, on écrira d’abord, comme