dans laquelle il faut faire maintenant
ce qui la réduit à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2a^{2}\pi y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c3998804e154d0e40ea81874866a9d38c7be3e)
comme dans les cas où
est constant.
Il est bon de remarquer qu’une nouvelle intégration par parties, exécutée sur la différentielle
n’ajouterait rien à l’équation que nous venons de trouver ; car, l’intégrale de
étant
![{\displaystyle -{\frac {1}{ar\rho }}=-{\frac {\sqrt {r^{2}-2ar\mu +a^{2}}}{ar}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9f78ce1d54d6065634727ce0229bb928a58fd2)
il n’en peut résulter aucun terme où le facteur
qui devient nul lorsque
soit détruit par la division.
10. Maintenant, puisque
(2), on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}={\frac {2\pi a^{3}}{3r}}-{\frac {4\pi a^{4}}{3r^{2}}}+{\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a721a6a111b05654bccb1564959408b9a6a181)
faisant
pour avoir l’attraction sur un point à la surface du sphéroïde, on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {2\pi a^{2}}{3}}+2\pi a^{2}y+{\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de04d0cb00007d0461c43b2d846709f35b302159)
en négligeant les
Mais nous venons de trouver
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}u+a{\frac {du}{dr}}=-2a^{2}\pi y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911158a674200d8fe7b034e9716095a14aca4e98)
ainsi l’on a, aux quantités du second ordre près,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {V} +a{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=-{\frac {2\pi a^{2}}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6344a378f361ad787dcf8820f52011e8588aa9f9)
comme M. Laplace l’a trouvé. Au reste, il est bien remarquable que le terme
dû à l’action de la sphère sur un point élevé au-dessus