9. Commençons par l’intégration relative à
la différentielle
intégrée par parties, donne
![{\displaystyle y'\int \rho ^{3}d\mu -\int {\frac {dy'}{d\mu }}\left(\int \rho ^{3}d\mu \right)d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc6b2646f423e8ce4317cfeec40f769452f192f)
Or
![{\displaystyle \rho ={\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2ar\mu +a^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df278441d6def3b32ac86a140aea2312b589f48c)
donc
![{\displaystyle \int \rho ^{3}d\mu ={\frac {\rho }{ar}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2789a97e4b7b900174c17e9e2d098f07371307b3)
de sorte que l’intégrale dont il s’agit deviendra
![{\displaystyle {\frac {y'\rho }{ar}}-\int {\frac {dy'}{d\mu }}{\frac {\rho d\mu }{ar}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8482a78dd53cd78ac92f25bddc0b05d5708104)
Comme l’intégration doit s’étendre depuis
jusqu’à
et qu’à la première de ces limites
devient
si l’on nomme
ce que
devient à la seconde limite, la valeur complète du terme
hors du signe sera
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Y} }{ar(r+a)}}-{\frac {y}{ar(r-a)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6abb21f51383fe59be8c22d2e1ea2ee8764d92e)
Or,
et
répondant à
et
à cause de
auxquels cas
et
deviennent
et
il est visible que ces quantités seront indépendantes de
ainsi l’intégration relative à
depuis
jusqu’à
exécutée sur le même terme, donnera
![{\displaystyle {\frac {2\pi \mathrm {Y} }{ar(r+a)}}-{\frac {2\pi y}{ar(r-a)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c198059e23e7879cfe7973a176a4c9c2ca18e1)
On pourra donc substituer dans l’équation en
duno 6, à la place de
la quantité
![{\displaystyle {\frac {2\pi y}{ar(r-a)}}-{\frac {2\pi \mathrm {Y} }{ar(r+a)}}+\iint {\frac {dy'}{d\mu }}{\frac {\rho d\mu d\varphi }{ar}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2008a226dafeb3f1ea96a466e861bc9450d475d5)
ce qui la changera en celle-ci
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}u+r{\frac {du}{dr}}=-{\frac {a^{2}\pi (r+a)y}{r}}+{\frac {a^{2}\pi \mathrm {Y} (r-a)}{r}}-{\frac {a^{3}\left(r^{2}-a^{2}\right)}{2ar}}\iint {\frac {y'}{\mu }}\rho d\mu d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aab140046b22095167e82c17501ce5e31beaa60)