3. Considérons l’équation
qui est indépendante de la valeur de
dans
et supposons d’abord
constant ; on aura
![{\displaystyle u=a^{3}y\iint {\frac {d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf49c15e258319cfdfb7a34bc9ac31a25c006692)
Il est facile d’avoir l’intégrale de
car, en transportant l’axe ou le pôle des angles
dans la ligne
ce qui est permis, puisque cette ligne est fixe par rapport aux mêmes angles, on a
ce qui donne
et réduit la différentielle dont il s’agit à
![{\displaystyle -{\frac {d\varpi 'd\mu }{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ef83b9ec19938c6a161d00db4d7480427317df)
laquelle doit être intégrée depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
La première intégration donne
![{\displaystyle -{\frac {2\pi d\mu }{\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26944bad475719ce1b0bdaee0c99c84413195b88)
la seconde donne d’abord
![{\displaystyle {\frac {2\pi {\sqrt {r^{2}-2ra\mu +a^{2}}}}{ra}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef95075e6d7b65fbd7da28b61d501ec35cd294b)
et, complétant,
![{\displaystyle {\frac {2\pi (r+a)}{ra}}-{\frac {2\pi (r-a)}{ra}}={\frac {4\pi }{r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5763bfe4ce8f7c655ece12e98b2b50660a660818)
Ainsi l’on a
![{\displaystyle u={\frac {4\pi a^{3}y}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10cacfa931a614bb05cc2bf701d234d1234d7255)
et de là
![{\displaystyle {\frac {du}{dr}}=-{\frac {4\pi a^{3}y}{r^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176fdf3241e1e9c527961e4bb70d6bc6f01bd4d0)
et, faisant ![{\displaystyle r=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556427dc27dc5097b61e24fdfbb2a5888583cda0)
![{\displaystyle u=4\pi a^{2}y,\quad {\frac {du}{dr}}=-4\pi ay\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1be015882373b3c53e5641098f74d679b583231)