En faisant
l’angle
devient l’angle opposé au côté
dans le triangle rectiligne dont
seraient les côtés.
Désignons cet angle par
on aura donc
![{\displaystyle \cos \mathrm {A} '={\frac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}{2\beta \gamma }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620323738e04511815f998fdd50376e573215e67)
et de là
![{\displaystyle \sin ^{2}\mathrm {A} '={\frac {2\alpha ^{2}\beta ^{2}+2\alpha ^{2}\gamma ^{2}+2\beta ^{2}\gamma ^{2}-\alpha ^{4}-\beta ^{4}-\gamma ^{4}}{4\beta ^{2}\gamma ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd2a138971c56f10b57b7969402da5b76addd60)
comme on l’a vu ci-dessus (1 et 2) ; donc, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra
![{\displaystyle \cos \mathrm {A} =\cos \mathrm {A} '-{\frac {\beta \gamma \sin ^{2}\mathrm {A} '}{2.3r^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98db377cc9cbddc264b59ef40eb12b929fef06da)
or, dans le triangle rectiligne dont
sont les côtés, il est visible que
en exprime l’aire. Donc, si l’on désigne cette aire par
on aura
![{\displaystyle \cos \mathrm {A} =\cos \mathrm {A} '-{\frac {\theta \sin \mathrm {A} '}{3r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7125f8b1d3b14e5dc42c2aaf83978899b46235)
d’où il suit qu’on aura, aux quantités de l’ordre de
près,
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {A} '+{\frac {\theta }{3r^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbe563164965d271f56f9a1f723936a1e160614)
Et, comme en changeant le côté
en
ou
l’angle
se change en
ou
si l’on désigne de même par
et
les angles opposés aux côtés
et
dans le triangle rectiligne, on aura également
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} &=\mathrm {B} '+{\frac {\theta }{3r^{2}}},\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} '+{\frac {\theta }{3r^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b831fc9340094fc4ea16075ad7bc14f691b34993)
puisque la quantité
qui est égale à l’aire du triangle rectiligne est