qu’ayant réduit en série les sinus et cosinus de ces angles, on rejette les termes qui s’évanouissent par la supposition de
on aura le cas des triangles rectilignes, dans lesquels
sont les côtés et
les angles opposés.
Ainsi, si
est une équation entre les sinus et cosinus de
et de
on substituera, pour
pour
et pour
des valeurs pareilles, en changeant
en,
et réduisant en série suivant les puissances descendantes de
ce qui donnera
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {P} }{r^{m}}}+{\frac {\mathrm {Q} }{r^{m+1}}}+{\frac {\mathrm {R} }{r^{m+2}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2252c13894aad17cd4e763e2f7d9ecba703c340f)
on aura pour le triangle rectiligne l’équation
; car l’équation
donne, en multipliant par ![{\displaystyle r^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca77ee1077b19374b371dd5c00a686a2fbf42305)
![{\displaystyle \mathrm {P} +{\frac {\mathrm {Q} }{r}}+{\frac {\mathrm {R} }{r^{2}}}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/572a140e16575b6cbeb4bdc7bcbc2c5755552ce6)
et, faisant
on a ![{\displaystyle \mathrm {P} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d864037044d12b7de332981759193b8dd93c39)
On pourrait de cette manière déduire les règles de la Trigonométrie rectiligne des équations fondamentales de la Trigonométrie sphérique ; mais cela n’aurait d’utilité que comme exercice de calcul, puisque ce serait démontrer le simple par le composé nous nous contenterons de remarquer que l’équation (D) du no 17 donne tout de suite celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {\cos A=\sin B\sin C-\cos B\cos C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2c9c016031c4214c2b0262e89db8910b63d44c)
savoir
![{\displaystyle \mathrm {\cos A=-\cos(B-C)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84644a635d8b4963aa4cc3cdedd653691daaea08)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {A=2D-B-C,\quad {\text{c’est-à-dire,}}\quad A+B+C=2D} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8176ceb17f24a5882cc094a1a45a944c0637af)
étant l’angle droit ; ce qui est la propriété connue des triangles rectilignes.