Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/348

qui forment les côtés du triangle donné, en joignant ces pôles par des arcs de grand cercle ; ce qui se démontre facilement par une construction fort simple.

19. Les quatre équations (A), (B), (C), (D) que nous venons de trouver renferment la solution de toutes les questions de la Trigonométrie sphérique ; car, comme il n’y a dans un triangle sphérique que six éléments, les trois côtés et les trois angles, et que trois de ces éléments suffisent pour déterminer le triangles, il est clair que les relations les plus simples ne peuvent être qu’entre quatre éléments ; or toutes les combinaisons différentes qu’on peut faire des six éléments, pris quatre à quatre, se réduisent à ces quatre-ci :

1^o Entre trois côtés et un angle cette relation est donnée par l’équation (A) ;

2^o Entre deux côtés et deux angles, qui peuvent être opposés respectivement aux deux côtés, ou l’un opposé, l’autre adjacent au même côté, ce qui fait deux cas la relation entre deux côtés et les deux angles opposés est donnée par l’équation (B) ;

3^o Entre deux côtés et deux angles, dont l’un opposé et l’autre adjacent au même côté donné cette relation est contenue dans l’équation (C) ;

4^o Entre trois angles et un côté cette relation est donnée par l’équation (D).

20. Si l’on suppose l’angle $\mathrm {A}$ droit, les équations précédentes se simplifient et donnent celles-ci

${\begin{aligned}\cos a=&\cos b\cos c,\\\sin a=&{\frac {\sin b}{\sin \mathrm {B} }},\\\cot a=&\cot b\cos \mathrm {C} ,\\\cos a=&\cot \mathrm {B} \cot \mathrm {C} \,;\end{aligned}}$

et, si l’on suppose l’angle $\mathrm {C}$ droit, les équations (C) et (D) donnent en-