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culaires à cette base seront $\mathrm {D} -b$ et $\mathrm {D} -c\,;$ et l’aire de ce quadrilatère sera exprimée simplement par $\mathrm {B+C-2D} .$

Mais, par les analogies connues de Neper, on a dans tout triangle sphérique cette équation, que nous démontrerons plus bas,

$\operatorname {tang} \mathrm {\frac {B+C}{2}} ={\frac {\cos {\cfrac {b-c}{2}}}{\cos {\cfrac {b+c}{2}}}}\cot {\frac {\mathrm {A} }{2}}.$

Donc, si l’on désigne par $\sigma$ l’aire ou la surface du quadrilatère dont il s’agit, on aura

$\operatorname {tang} {\frac {\sigma }{2}}=\cot \mathrm {\frac {B+C}{2}} ={\frac {1}{\operatorname {tang} \mathrm {\cfrac {B+C}{2}} }}\,;$

donc

$\operatorname {tang} {\frac {\sigma }{2}}={\frac {\cos {\cfrac {b+c}{2}}}{\cos {\cfrac {b-c}{2}}}}\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}\,;$

et, si l’on désigne par $\beta$ et $\gamma$ les deux côtés du quadrilatère perpendiculaires à la base $\mathrm {A} ,$ en sorte que $\beta =\mathrm {D} -b$ et $\gamma =\mathrm {D} -c,$ on aura, pour la détermination de l’aire $\sigma ,$ la formule

$\operatorname {tang} {\frac {\sigma }{2}}={\frac {\sin {\cfrac {\beta +\gamma }{2}}}{\cos {\cfrac {\beta -\gamma }{2}}}}\operatorname {tang} {\frac {\mathrm {A} }{2}}.$

Cette formule répond à la formule connue $\sigma ={\frac {\beta +\gamma }{2}}\mathrm {A}$ pour les quadrilatères rectilignes dont $\mathrm {A}$ est la base, $\beta ,\gamma$ les deux côtés verticaux, et $\sigma$ l’aire ; et, comme celle-ci est du plus grand usage pour mesurer les surfaces planes terminées par des lignes droites, la formule que nous venons de donner sera également utile pour mesurer les surfaces sphériques terminées par des arcs de grands cercles. Ainsi elle peut être employée avec beaucoup d’avantage pour déterminer l’étendue d’un pays, lorsqu’on connaît les latitudes et les différences de longitude de