grandes que la vraie valeur de
et que la fraction
en est plus petite, il est évident que chacune de ces fractions approchera de la quantité
en sorte que la différence en sera plus petite que celle de la même fraction et de la fraction
or on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{A_{1}B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{(B_{1}+A_{1})B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{(2B_{1}+A_{1})B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{(3B_{1}+A_{1})B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {C}{C_{1}}}-{\frac {B}{B_{1}}}={\frac {1}{C_{1}B_{1}}}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f444d0856e1508e8b17be97e2c411b197d1a56)
Donc, puisque ces différences sont aussi égales à l’unité divisée par le produit des dénominateurs, on y pourra appliquer le même raisonnement du no 12, pour prouver qu’aucune fraction
ne saurait tomber entre une quelconque des fractions
et la fraction
si le dénominateur
est plus petit que celui de la même fraction ; d’où il suit que chacune de ces fractions approche plus de la quantité
que ne pourrait faire toute autre fraction plus petite que
et qui aurait un dénominateur plus petit, c’est-à-dire ; qui serait conçue en termes plus simples.
18. Nous n’avons considéré dans le numéro précédent que les fractions intermédiaires entre
et
il en sera de même des fractions intermédiaires entre
et
entre
et
si
sont des nombres