cherche des fonctions dérivées qui forment les premiers termes du développement des fonctions données, ou à la recherche inverse des fonctions primitives par les fonctions dérivées.
Newton avait bien remarqué, dans sa première solution du Problème sur la courbe décrite par un corps grave dans un milieu résistant, que ce Problème devait se résoudre par les premiers termes de lâ série de l’ordonnée ; mais il se trompa dans l’application de ce principe, et dans la seconde solution il employa purement la méthode différentielle, en considérant les différences de quatre ordonnées successives ; et, quoiqu’il ait laissé subsister le passage où il dit que le Problème se résoudra par les premiers termes de la série, on voit que ce passage n’a plus de rapport immédiat à ce qui précède ni à ce qui suit.
Il est donc plus naturel et plus simple de considérer immédiatement la formation des premiers termes du développement des fonctions, sans employer le circuit métaphysique des infiniment petits ou des limites ; et c’est ramener le Calcul différentiel à une origine purement algébrique, que de le faire dépendre uniquement de ce développement.
Le développement des fonctions, envisagé d’une manière générale, donne naissance aux fonctions dérivées de différents ordres ; et, l’algorithme de ces fonctions une fois trouvé, on peut les considérer en elle\sinêmes et indépendamment des séries d’où elles résultent. Ainsi, une fonction donnée étant regardée comme primitive, on en peut déduire, par des règles simples et uniformes, d’autres fonctions que j’appelle dérivées ; et, ayant une équation quelconque entre plusieurs variables, on peut passer successivement aux équations dérivées, et remonter de celles-ci aux équations primitives. Ces transformations répondent aux différentiations et aux intégrations ; mais, dans la théorie des fonctions, elles ne dépendent que d’opérations purement algébriques, fondées sur les simples principes du calcul.
À proprement parler, l’Algèbre n’est en général que la théorie des fonctions. Dans l’Arithmétique, on cherche des nombres par des conditions données entre ces nombres et d’autres nombres ; et les nombres qu’on trouve satisfont à ces conditions sans conserver aucune trace des
