29. Mais on peut déduire de nos formules un autre procédé pour parvenir directement à une quelconque des fractions convergentes par le moyen d’une seule série. Pour cela, je considère les équations du no 21 sous cette forme,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathrm {B} =&\lambda m+n,\qquad &m=&\mu n+p,\qquad &n=&\nu p+q,\qquad &\ldots ,&\\\mathrm {A} =&\lambda a\ \,+b,&a=&\mu b\ +c,&b=&\nu c\,+d,&\ldots ,&\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799ed139a975eb0cfea4b38bb3ce6561550ad904)
et j’observe que les valeurs de
et
dépendent des quantités
comme celles de
et
dépendent des quantités
et celles de
et
dépendent de
ce qui est évident par la forme même de ces équations. D’un autre côté, si l’on considère la série des nombres
et qu’on y ajoute au commencement les deux nombres
et
on a, par les formules du no 21,
![{\displaystyle \mathrm {N=\lambda M+L,\quad P=\mu N+M,\quad Q=\nu P+N,\quad R=\varpi Q+P} ,\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d72e30067bbf97cc5ede997d56a7073ce82c72c)
or on a vu (22) que les deux derniers termes de cette série sont nécessairement les nombres
et
donc, si dans ces formules on change les nombres
en
les deux derniers termes de la série seront
et
de sorte que l’on aura immédiatement la première fraction convergente
par les deux derniers termes de la série
![{\displaystyle \mathrm {L=0,\quad M=1,\quad N=\mu M+L,\quad P=\nu N+M,\quad R=\varpi P+N} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02098465d42109e954ffdf5e491d2f542ed1247c)
et, par la même raison, on aura la seconde fraction convergente
en prenant pour
et
les deux derniers termes de la série
![{\displaystyle \mathrm {L=0,\quad M=1,\quad N=\nu M+L,\quad P=\varpi N+M} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea77adc613b6a1f4cc3cb292e577930518c8f1d)
et ainsi de suite ; les nombres
étant les dénominateurs de la fraction continue, pris à rebours, c’est-à-dire à commencer par le dernier.
30. Ainsi, ayant trouvé pour la fraction
cette suite de quotients