la fraction
savoir
et, si l’on voulait de même avoir une seconde fraction en excès, on prendrait la fraction
savoir
et ainsi des autres.
27. Au reste, si l’on met les formules du no 21 sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {P}{N}}=\mu +{\frac {1}{\lambda }},\quad {\frac {Q}{P}}=\nu +{\frac {N}{P}},\quad {\frac {R}{Q}}=\varpi +{\frac {P}{Q}},\quad {\frac {S}{R}}=\rho +{\frac {Q}{R}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b51ec637a1eef0554d6052646770ee464a26616)
on aura, par la substitution successive,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {\frac {P}{N}} &=\mu +{\frac {1}{\lambda }},\\\\\mathrm {\frac {Q}{P}} &=\nu +{\frac {1}{\mu +{\cfrac {1}{\lambda }}}},\\\\\mathrm {\frac {R}{Q}} &=\varpi +{\frac {1}{\nu +{\cfrac {1}{\mu +{\cfrac {1}{\lambda }}}}}},\\\\\mathrm {\frac {S}{R}} &=\rho +{\frac {1}{\varpi +{\cfrac {1}{\nu +{\cfrac {1}{\mu +{\cfrac {1}{\lambda }}}}}}}},\\\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13390fea29359c3b514725e4a3abb90c708ab7a)
de sorte que, comme les deux derniers termes de la série
sont égaux à
et
(22), il s’ensuit que la fraction
se trouvera ainsi réduite à une fraction continue, dont les dénominateurs successifs seront les nombres
pris à rebours, et par conséquent les nombres mêmes de la cinquième colonne dans la Table du no 25.
Ainsi la fraction
de l’Exemple de ce numéro se réduit à cette