séries en particulier dans la première on aura (nos 10 et 12)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {C}{C_{1}}}-{\frac {A}{A_{1}}}={\frac {\gamma }{A_{1}C_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {E}{E_{1}}}\ -{\frac {C}{C_{1}}}={\frac {\varepsilon }{C_{1}E_{1}}}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef0e9625737d6334f6d60504993a1359acb23f6)
et dans la seconde on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {B}{B_{1}}}-{\frac {D}{D_{1}}}={\frac {\delta }{D_{1}B_{1}}}} ,\\&\mathrm {{\frac {D}{D_{1}}}\ -{\frac {F}{F_{1}}}={\frac {\zeta }{D_{1}F_{1}}}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c904287336528ad53f273d41bf85d9cf07f654)
Si les nombres
étaient tous égaux à l’unité, on pourrait prouver, comme dans le no 12, qu’entre deux fractions consécutives quelconques de l’une ou de l’autre des séries précédentes il ne pourrait jamais se trouver aucune autre fraction dont le dénominateur serait moindre que ceux de ces deux fractions ; mais il n’en sera pas de même lorsque les nombres
seront différents de l’unité ; car dans ce cas on pourra insérer entre les fractions dont il s’agit autant de fractions intermédiaires qu’il y aura d’unités dans les nombres
et pour cela il n’y aura qu’à mettre successivement dans les valeurs de
et
(no 10) les nombres
à la place de
et de même, dans les valeurs de
et
les nombres
à la place de
, et ainsi de suite.
17. Supposons, par exemple, que
on aura
![{\displaystyle \mathrm {C=4B+A,\quad C_{1}=4B_{1}+A_{1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c547b6b2d9d18f782297be8deeee2d13f977c04)
et l’on pourra insérer entre les fractions
et
trois fractions intermédiaires, qui seront
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {B+A}{B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {2B+A}{2B_{1}+A_{1}}},\quad {\frac {3B+A}{3B_{1}+A_{1}}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98a5136534d311096f7774d264c3bbc2d1e3200)