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$\nu$ étant un nombre entier indéterminé ; et, comme $q$ et $d$ doivent être respectivement moindres que $p$ et $c,$ on en conclura qu’ils ne pourront être que les restes des divisions de $n$ par $p$ et de $b$ par $c,$ et que $\nu$ sera leur quotient commun.

Et ainsi de suite.

21. Nous venons de trouver les formules

${\begin{alignedat}{4}n=&\mathrm {B} -\lambda m,\qquad &p=&m-\mu n,\qquad &q=&n-\nu p,\qquad &\ldots ,\\b=&\mathrm {A} -\lambda a,&c=&\ a\,-\mu b,&d=&b\ -\nu c,&\ldots ,\\\end{alignedat}}$

Si l’on substitue ces valeurs dans les expressions des nombres $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots$ du n^o 19, il viendra, à cause de $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm 1,$ en ôtant l’ambiguïté des signes qui affectent tous les termes,

$\mathrm {N=\lambda ,\quad P=1+\mu N,\quad Q=N+\nu P} ,$

$\mathrm {R=P+\varpi Q,\quad S=Q+\rho R} ,\quad \ldots ,$

formules qui font voir que les nombres $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots$ vont nécessairement en augmentant, tandis que les nombres $a,b,c,d,\ldots$ et $m,n,p,q,\ldots$ vont en diminuant.

Ces formules peuvent aussi servir à déterminer directement la valeur de ces nombres lorsque les coefficients $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots$ seront connus ; et ces mêmes nombres $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots$ serviront à exprimer d’une manière simple les différences des fractions ${\frac {m}{a}},{\frac {n}{b}},\ldots$ et de la fraction $\mathrm {\frac {B}{A}}$ (19).

22. Maintenant, comme les nombres $m,n,p,\ldots ,$ ainsi que les nombres $a,b,c,\ldots ,$, doivent aller en diminuant, il est évident que par la continuation des mêmes opérations on parviendra à des termes nuls.

Supposons donc, par exemple, qu’on ait $f=0\,;$ alors l’équation $rf-es=\mp 1$ (19) deviendra $-es=\mp 1\,;$ donc il faudra prendre le signe supérieur et faire $e=1,$ $s=1.$

Donc l’équation $\mathrm {B} f-\mathrm {A} s=\mp \mathrm {S}$ du même numéro deviendra, en prenant le signe supérieur, $-\mathrm {A=-S} ,$ savoir, $\mathrm {S=A} .$