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diamètre, et qui est, en décimales,

$3{,}141592\ 653589\ 793238\ 462643\ 38\ldots .$

En faisant la même opération sur la fraction

${\frac {141592\ 653589\ 793238\ 462643\ldots }{1\ 000000\ 000000\ 000000000000\ldots }},$

et faisant les divisions en dedans ou en dehors, suivant qu’il sera nécessaire pour que chaque reste soit moindre que la moitié du précédent, on trouvera les quotients $7,113,4739,47051,499762,\ldots ,$ et l’on aura pour le rapport dont il s’agit la série très-convergente

$3+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{7.113}}-{\frac {1}{7.113.4739}}+{\frac {1}{7.113.4739.47051}}$

$+{\frac {1}{7.113.4739.47051.499762}}-\ldots .$

Les deux premiers termes réunis donnent la proportion connue d’Archimède ${\frac {22}{7}}\,;$ et, en y ajoutant le troisième, on a la proportion de Metius ${\frac {355}{113}}.$

13. Dans les problèmes précédents, il a été question de réduire une fraction donnée à d’autres fractions dont les numérateurs ou les dénominateurs étaient donnés ; mais on peut chercher simplement à réduire une fraction à d’autres fractions exprimées en moindres termes, et qui soient les plus approchantes qu’il est possible de la fraction donnée. Comme ce Problème est un des plus intéressants de l’Arithmétique, soit par les artifices qu’il demande, soit par les usages dont il est susceptible, nous allons en donner ici une solution déduite des mêmes principes.

14. Suivant les formules du n^o 4, nous avons cette transformation

$\mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {m}{a}}\pm {\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {A} a}},$

où $\mathrm {B} a-\mathrm {A} m=\pm \mathrm {C} .$ Or, lorsque $m$ et $a$ sont indéterminées, et qu’on