Donc, si l’on fait ou c’est-à-dire, si l’on prend l’arc égal au rayon ou à une partie quelconque aliquote du rayon, les séries qui représenteront le sinus et le cosinus de cet arc auront les conditions dont il s’agit ; et, comme elles vont à l’infini, on en conclura que ces sinus ou cosinus ne pourront jamais être commensurables au rayon.
11. Considérons maintenant plus particulièrement le cas où les numérateurs sont donnés, et supposons que ces numérateurs soient tous égaux à l’unité, ce qui rend la forme de la série la plus simple et la plus convergente.
On fera donc, dans ce cas,
et l’on aura
où l’on observera, à l’égard des signes ambigus de la série, la règle du no 6.
Ainsi l’on prendra pour le quotient de la divisions de par pour le quotient de la division de par le reste de la division précédente pour le quotient de la division de par le reste de la division précédente, et ainsi de suite ; de sorte que dans ces opérations on comparera successivement tous les restes au même dividende ce qui rendra la suite des restes décroissante, et celle des quotients croissante, jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste nul, ce qui terminera l’opération et la série.
Si l’on fait toutes les divisions en dedans comme à l’ordinaire (3), les restes auront tous le signe négatif, et par conséquent les signes de la série seront alternativement positifs et négatifs (6). Pour que la série n’ait que des termes positifs, il faudra que les divisions successives soient toutes en dehors, pour que les restes dans les formules ci-dessus, soient tous affectés du signe
Au reste, si l’on voulait avoir la série la plus convergente qu’il est
