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nativement positives et négatives ; c’est-à-dire que ces fractions seront alternativement plus petites et plus grandes que la quantité $a.$

De plus, comme $b>\beta ,\ c>\gamma ,\ d>\delta ,\ldots$ (hyp.), on aura

$b>\mathrm {B} _{1},\quad \mathrm {B} _{1}c+\mathrm {A_{1}>B_{1}\gamma +A_{1}>C_{1},\quad \mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B_{1}>C_{1}\delta +B_{1}>D_{1}} } ,\quad \ldots ,$

et comme $b<\beta +1,\ c<\gamma +1,\ d<\delta +1,\ldots ,$ on aura

$b<\mathrm {B} _{1}+1,\quad \mathrm {B} _{1}c+\mathrm {A_{1}<B_{1}(\gamma +1)+A_{1}<C_{1}+B_{1}} ,$

$\mathrm {C} _{1}d+\mathrm {B_{1}<C_{1}(\delta +1)+B_{1}<D_{1}+C_{1}} ,\quad \ldots \,;$

de sorte que les erreurs qu’on commettrait en prenant les fractions $\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},{\frac {B}{B_{1}}},{\frac {C}{C_{1}}}} ,\ldots$ pour la valeur de $a$ seraient respectivement moindres que

$\mathrm {{\frac {1}{A_{1}B_{1}}},\quad {\frac {1}{B_{1}C_{1}}},\quad {\frac {1}{C_{1}D_{1}}}} ,\quad \ldots ,$

mais plus grandes que

$\mathrm {{\frac {1}{A_{1}(B_{1}+A_{1})}},\quad {\frac {1}{B_{1}(C_{1}+B_{1})}},\quad {\frac {1}{C_{1}(D_{1}+C_{1})}}} ,\quad \ldots ,$

d’où l’on voit combien ces erreurs sont petites, et combien elles vont en diminuant d’une fraction à l’autre.

Mais il y a plus : puisque les fractions $\mathrm {{\frac {A}{A_{1}}},{\frac {B}{B_{1}}},{\frac {C}{C_{1}}}} ,\ldots$ sont alternativement plus petites et plus grandes que la quantité $a,$ il est clair que la valeur de cette quantité se trouvera toujours entre deux fractions consécutives quelconques ; or nous avons vu ci-dessus (n^o 12) qu’il est impossible qu’entre deux telles fractions puisse se trouver une autre fraction quelconque qui ait un dénominateur moindre que l’un de ceux de ces deux fractions ; d’où l’on peut conclure que chacune des fractions dont il s’agit exprime la quantité $a$ plus exactement que ne pourrait faire toute autre fraction quelconque, dont le dénominateur serait plus petit que celui de la fraction suivante ; c’est-à-dire que la frac-