Soit
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Q-P} }{q-p}}=\mathrm {Q} _{1},\quad {\frac {\mathrm {R-Q} }{r-q}}=\mathrm {R} _{1},\quad {\frac {\mathrm {S-R} }{s-r}}=\mathrm {S} _{1},\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1301706cd9ce5711a2f67b85a66c5df64b50e61a)
on trouvera de la même manière, par la soustraction et la division,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {R_{1}-Q_{1}} }{r-p}}&=c+d(r+q+p)+\ldots ,\\{\frac {\mathrm {S_{1}-R_{1}} }{s-q}}&=c+d(s+r-q)+\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e13008b6aa3e48f7c9e9ff61314f5ba37a3fe3c)
Soit de même
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {R_{1}-Q_{1}} }{r-p}}=\mathrm {R} _{2},\quad {\frac {\mathrm {S_{1}-R_{1}} }{s-q}}=\mathrm {S} _{2},\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da967f41b98cddfd8f57fef84d5255bbb73a11b)
on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {S_{2}-R_{2}} }{s-q}}&=d+\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85eb008b5e89791888cdaa8206675df29810c5cf)
et ainsi de suite.
On trouve, de cette manière, les valeurs des coefficients
à commencer par les dernières, et, les substituant dans l’équation générale
![{\displaystyle y=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820beb2198f5029afa16e5e0d293860f74d9882d)
il viendra, après les réductions, cette formule, qu’il est aisé de continuer aussi loin qu’on voudra,
![{\displaystyle y=\mathrm {P} +\mathrm {Q} _{1}(x-p)+\mathrm {R} _{2}(x-p)(x-q)+\mathrm {S} _{3}(x-p)(x-q)(x-r)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680e6da9120f67f63905a5b64c223578f8bc97a6)
Mais on peut réduire cette solution à une plus grande simplicité par la considération suivante.
Puisque
doit devenir
lorsque
devient
il est aisé de voir que l’expression de
sera de cette forme
![{\displaystyle y=\mathrm {AP+BQ+CR+DS} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fec6cc22be97cc6b7a9f3d11f802eb67629b296)
où les quantités
doivent être exprimées en
de manière