l’équation ne pourra se trouver. Pour cela, supposons d’abord positif, et que soit le plus grand des coefficients des termes négatifs ; si l’on fait on aura
or
et de même
et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura
Or cette quantité est évidemment plus grande que la somme de tous les termes négatifs de l’équation pris positivement, et en y faisant donc la suppositionde rendra nécessairement le premier plus grand que la somme de tous les termes négatifs ; par conséquent la valeur de sera du même signe que .
Le même raisonnement et le même résultat auront lieu pour le cas de négatif, en changeant seulement en dans l’équation proposée, pour changer les racines positives en négatives et réciproquement.
On prouvera de la même manière que, si l’on donne à une valeur quelconque plus grande que la valeur de sera toujours du même signe d’où, et de ce qui a été démontré ci-dessus, on conclura d’abord qu’il ne pourra y avoir aucune racine égale ou plus grande que
Donc, en général, si est le plus grand coefficient des termes négatifs d’une équation, et qu’en changeant l’inconnue en soit le plus grand coefficient des termes négatifs de la nouvelle équation, en supposant toujours le premier positif, toutes les racines réelles de l’équation seront nécessairement comprises entre les limites
Au reste, lorsque dans l’équation il y a plusieurs termes positifs avant