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à $x$ une valeur positive ou négative, assez grande pour que le premier terme $x^{m}$ de l’équation surpasse la somme de tous les autres qui auront un signe contraire à $x^{m}\,;$ de sorte que la valeur correspondante de $y$ aura alors le même signe que le premier terme $x^{m}.$ Or, si $m$ est impair, $x^{m}$ sera positif ou négatif, suivant que $x$ sera positif ou négatif, et, si $m$ est pair, $x^{m}$ sera toujours positif, soit que $x$ soit positif ou négatif.

D’où l’on peut conclure

En premier lieu, que toute équation d’un degré impair, dont le dernier terme est négatif, a un nombre impair de racines entre $x=0$ et $x$ très-grand positif, et un nombre pair de racines entre $x=0$ et $x$ très-grand négatif, et par conséquent au moins une racine réelle positive ; qu’au contraire ; si le dernier terme de l’équation est positif, il y aura un nombre impair de racines entre $x=0$ et $x$ très-grand négatif, et un nombre pair de racines entre $x=0$ et $x$ très-grand positif, et par conséquent au moins une racine réelle négative ;

En second lieu, que toute équation d’un degré pair, dont le dernier terme est négatif, a un nombre impair de racines entre $x=0$ et $x$ très-grand positif, ainsi qu’entre $x=0$ et $x$ très-grand négatif, et par conséquent au moins une racine réelle positive et une racine réelle négative qu’au contraire, si le dernier terme est positif, il y aura un nombre pair de racines entre $x=0$ et $x$ très-grand positif, et pareillement un nombre pair de racines entre $x=0$ et $x$ très-grand négatif ; de sorte que, dans ce cas, l’équation peut n’avoir aucune racine réelle ni positive ni négative.

Nous avons dit que l’on pouvait toujours donner à $x$ une valeur assez grande pour que le premier terme $x^{m}$ de l’équation surpassât la somme de tous ceux de signe contraire. Quoique cette proposition n’ait pas besoin de démonstration, à cause que, la puissance $x^{m}$ étant plus haute que toutes les autres puissances de $x$ qui entrent dans l’équation, elle doit croître beaucoup plus rapidement que celles-ci, à mesure que $x$ augmente ; pour n’y laisser néanmoins aucun doute, nous allons la prouver d’une manière fort simple, qui aura même l’avantage de donnuer une limite, au delà de laquelle on sera assuré qu’aucune racine de