car, puisque
on aura (no 10)
![{\displaystyle c=\pm 1+{\frac {1}{d}},\quad {\text{et}}\quad c-{\frac {1}{d}}=\pm 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7f9d7607b5f08f3dd97544dd93c4c02896aa4c)
or, comme
et
sont des quantités
(no 3), il est clair que cette équation ne pourra subsister, à moins que
et
ne soient de même signe ; donc, puisque
et
sont les valeurs entières approchées de
et
ces nombres et devront être aussi de même signe ; mais la fraction
doit être de même signe que
à cause que
est un nombre entier, et
une fraction
donc
et
seront des quantités de même signe ; par conséquent
sera une quantité positive. Or on a
donc, multipliant par
on aura
donc,
étant une quantité positive, il est clair que
sera
donc ![{\displaystyle \mathrm {D>B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31002c01e31fb4d8f6a268f8596d62238f9b9b6)
De là on voit que, s’il arrive que dans la série
il se trouve un terme qui soit moindre que le précédent, le terme suivant sera nécessairement plus grand ; de sorte qu’en mettant à part ces termes plus petits la série ne laissera pas d’aller en augmentant.
Au reste on pourra toujours éviter, si l’on veut, cet inconvénient, soit en prenant les nombres
tous positifs, soit en les prenant tous différents de l’unité, ce qui est toujours possible.
On fera les mêmes raisonnements par rapport à la série
dans laquelle on a pareillement
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {B_{1}}{A_{1}}}=\beta ,\quad {\frac {C_{1}}{B_{1}}}=\gamma +{\frac {A_{1}}{B_{1}}},\quad {\frac {D_{1}}{C_{1}}}=\delta +{\frac {B_{1}}{C_{1}}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed44149dcd13735f78e01ae567e726b69cecd44f)
d’où l’on déduira des conclusions semblables aux précédentes.
12. Maintenant, si l’on multiplie en croix les termes des fractions voisines dans la série
on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {BA_{1}-AB_{1}=1,\quad CB_{1}-BC_{1}=AB_{1}-BA_{1},\quad DC_{1}-CD_{1}=BC_{1}-CB_{1}} ,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d33a9eff5a8c83f27c15a67bb4e5583e0e8a3bf)