De plus, la première, étant élevée au carré, donne
![{\displaystyle y^{2}z^{2}t^{2}={\frac {q^{2}}{64}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2d31fc02f22868fda092551bb127188754d52e)
Donc, par la théorie générale de la formation des équations, les trois quantités
seront les racines d’une équation du troisième degré de la forme
![{\displaystyle u^{3}+{\frac {p}{2}}u^{2}+\left({\frac {p^{2}}{16}}-{\frac {r}{4}}\right)u-{\frac {q^{2}}{64}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0eb612ae89f86f98a97c901bb05a750353397b6)
de sorte que, si l’on nomme
les trois racines de cette équation, que nous nommerons la réduite, on aura
![{\displaystyle y={\sqrt {a}},\quad z={\sqrt {b}},\quad t={\sqrt {c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a334664b8c5cae416a8844d24443afe89c748c37)
et la valeur de
sera exprimée par
![{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f4d38a440abfe78c4552cf2d423a162706547b)
Comme les trois radicaux peuvent être pris chacun avec le signe
ou
on aurait, en faisant toutes les combinaisons possibles, huit valeurs différentes de
mais il faut observer que, dans l’analyse précédente, nous avons employé l’équation
tandis que l’équation donnée immédiatement est
ainsi il faudra que le produit des trois quantités
c’est-à-dire, des trois radicaux
![{\displaystyle {\sqrt {a}},\quad {\sqrt {b}},\quad {\sqrt {c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409b7260dc5367d849dc7fb7009791ea4dfb3649)
soit de signe contraire à celui de la quantité
D’où il suit : 1o que,
étant une quantité négative, il devra y avoir dans l’expression de
ou trois radicaux positifs, ou un positif et deux négatifs. On n’aura donc que ces quatre combinaisons
![{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}},\quad {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}-{\sqrt {c}},\quad -{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}-{\sqrt {c}},\quad {\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8472fbb7dfae70b0a835bad97df1717a7560bf)
qui seront, par conséquent, les quatre racines de la proposée du quatrième degré ; 2o si
est une quantité positive, alors il devra y avoir