dans la série précédente, puisque dans ce cas la fraction continue sera terminée, et que la dernière fraction de la série ci-dessus doit toujours équivaloir à toute la fraction continue.
Mais, si la quantité
est irrationnelle ou transcendante, alors, la fraction continue allant nécessairement à l’infini, on pourra aussi pousser à l’infini la série des fractions convergentes.
11. Examinons maintenant la nature de ces fractions ; et d’abord il est visible que les nombres
doivent aller en augmentant, aussi bien que les nombres
car :
1o Si les nombres
sont tous positifs, les nombres
et
seront aussi tous positifs, et l’on aura évidemment
et
ou
2o Si les nombres
sont tous ou en partie négatifs, alors, parmi les nombres
et
il y en aura de positifs et de négatifs ; mais, dans ce cas, on considérera que l’on a, en général, par les formules précédentes,
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {B}{A}}=\beta +{\frac {1}{\alpha }},\quad {\frac {C}{B}}=\gamma +{\frac {A}{B}},\quad {\frac {D}{C}}=\delta +{\frac {B}{C}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b127484dbac5a4fff120d634b7227894040101b)
d’où l’on voit d’abord que, si les nombres
sont différents de l’unité, quels que soient d’ailleurs leurs signes, on aura nécessairement, en faisant abstraction des signes,
donc,
par conséquent
et ainsi de suite ; donc ![{\displaystyle \mathrm {B>A,\ C>B} ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5debec07cd25f37e05ad02bfe94183f17d4562)
Il n’y aura d’exception que lorsque, parmi les nombres
il s’en trouvera d’égaux à l’unité ; supposons, par exemple, que le nombre
soit le premier qui soit égal à
on aura d’abord
mais
s’il arrive que la fraction
soit de signe différent de
ce qui est clair par l’équation
parce que dans ce cas
sera un nombre
or je dis qu’alors on aura nécessairement