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seront réelles aussi. En effet, supposons

${\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}=t,\quad {\sqrt[{3}]{\mathrm {B} }}=u\,;$

on aura d’abord

$t+u=h,$

$h$ étant par l’hypothèse une quantité réelle. Or

$tu={\sqrt[{3}]{\mathrm {AB} }}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {AB} =f^{2}+g^{2},$

donc

$tu={\sqrt[{3}]{f^{2}+g^{2}}}\,;$

l’équation précédente, étant élevée au carré, donne

$t^{2}+2tu+u^{2}=h^{2}\,;$

retranchant $4tu,$ on aura

$(t-u)^{2}=h^{2}-4{\sqrt[{3}]{f^{2}+g^{2}}}.$

J’observe que cette quantité doit-être nécessairement négative ; car, si elle était positive et $=k^{2},$ on aurait

$(t-u)^{2}=k^{2},$

donc

$t-u=k\,;$

donc, puisque

$t+u=h,$

on aurait

$t={\frac {h+k}{2}}\quad {\text{et}}\quad u={\frac {h-k}{2}},$

quantités réelles ; donc $t^{3}$ et $u^{3}$ seraient aussi des quantités réelles, ce qui est contre l’hypothèse, puisque ces quantités sont égales à $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ toutes deux imaginaires.

Donc la quantité

$h^{2}-4{\sqrt[{3}]{f^{2}+g^{2}}}$

sera essentiellement négative. Supposons-la égale à $-k^{2}\,;$ donc

$(t-u)^{2}=-h^{2},$