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que de l’accuser de ne pas donner des résultats aussi généraux que la question en est susceptible. Il nes’agit que de savoir bien lire ce genre d’écriture et d’y voir tout ce qu’elle peut renfermer. En effet, dans le cas dont il s’agit, on ne faisait pas attention que toute racine cubique doit avoir une triple valeur, comme toute racine carrée en a une double, par la raison qu’extraire, par exemple, la racine cubique de $a$ n’est autre chose que résoudre l’équation du troisième degré $x^{3}-a=0.$ Cette équation, en faisant $x=y{\sqrt[{3}]{a}},$ se ramène à cette forme plus simple $y^{3}-1=0,$ qui a d’abord la racine $y=1\,;$ ensuite, en la divisant par $y-1,$ on a

$y^{2}+y+1=0,$

d’où l’on tire les deux autres racines

$y={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}\,;$

ces trois racines sont donc les trois racines cubiques de l’unité, comme vous l’avez déjà vu, et donnent les trois racines cubiques de toute autre quantité comme $a,$ en les multipliant par la racine cubique ordinaire de cette quantité. Il en est de même des racines quatrièmes, cinquièmes, etc.

Nommons, pour abréger, $m$ et $n$ les deux racines

${\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}},$

qu’on voit bien être imaginaires, quoique leur cube soit réel et égal à $1,$ comme on peut s’en convaincre par le calcul ; on aura donc, pour les trois racines cubiques de $a,$

${\sqrt[{3}]{a}},\quad m{\sqrt[{3}]{a}},\quad n{\sqrt[{3}]{a}}.$

Or, lorsque nous sommes parvenus ci-dessus, dans la résolution de l’équation du troisième degré, la réduite $y^{3}=\mathrm {A} ,$ en faisant pour abréger

$\mathrm {A} =-{\frac {q}{2}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}},$