a exprimée par cette fraction ; de sorte que, si l’on s’arrête successivement à chaque terme de la fraction, on aura une suite de quantités qui seront nécessairement convergentesvers la quantité proposée.
Ainsi, ayant réduit la valeur de
à la fraction continue
![{\displaystyle \alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{\delta +\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9201291c9cb01c0cf5e464d46ccd642123d4c43)
on aura les quantités
![{\displaystyle \alpha ,\quad \alpha +{\frac {1}{\beta }},\quad \alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma }}}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0c60b5ed6f1686edd6d18fc3ddb592f7abb7b9)
ou bien, en réduisant,
![{\displaystyle \alpha ,\quad {\frac {\alpha \beta +1}{\beta }},\quad {\frac {\alpha \beta \gamma +\alpha +\gamma }{\beta \gamma +1}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4902a374bc993a16ed28bcd99bc310407dc2df9d)
qui approcheront de plus en plus de la valeur de
.
Pour pouvoir mieux juger de la loi et de la convergence de ces quantités, nous remarquerons que, par les formules du no 3, on a
![{\displaystyle a=\alpha +{\frac {1}{b}},\quad b=\beta +{\frac {1}{c}},\quad c=\gamma +{\frac {1}{d}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb3f2dff3687251648d802c1a27e2ee454ec777)
d’où l’on voit d’abord que
est la première valeur approchée de
qu’ensuite, si l’on prend la valeur exacte de
qui est
et qu’on y substitue pour
sa valeur approchée
on aura cette valeur plus approchée
qu’on aura de même une troisième valeur plus approchée de
en mettant d’abord pour
sa valeur exacte
ce qui donne
et prenant ensuite pour
la valeur approchée ![{\displaystyle \gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e3c2340c1fd5b5630f479d206a81060cefd447)