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on aura

${\begin{aligned}\alpha \ \,&=\mathrm {A_{1}\alpha \ \,-B_{1}\alpha +C_{1}} ,\\\alpha ^{2}&=\mathrm {A_{2}\alpha ^{2}-B_{2}\alpha +C_{2}} ,\\\alpha ^{3}&=\mathrm {A_{3}\alpha ^{2}-B_{3}\alpha +C_{3}} ,\\\alpha ^{4}&=\mathrm {A_{4}\alpha ^{2}-B_{4}\alpha +C_{4}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Substituant donc ces valeurs dans l’expression de

$\left(x+\alpha y+\alpha ^{2}z\right)^{m},$

elle se trouvera composée de trois parties, l’une toute rationnelle, l’autre toute multipliée par $\alpha ,$ et la troisième toute multipliée par $\alpha ^{2}\,;$ ainsi il n’y aura qu’à comparer la première à $\mathrm {X} ,$ la deuxième à $\alpha \mathrm {Y} ,$ et la troisième à $\alpha ^{2}\mathrm {Z} ,$ et l’on aura par ce moyen

${\begin{aligned}&\mathrm {X=P+P_{1}C_{1}+P_{2}C_{2}+P_{3}C_{3}+P_{4}C_{4}} +\ldots ,\\&\mathrm {Y=-P_{1}B_{1}-P_{2}B_{2}-P_{3}B_{3}-P_{4}B_{4}} -\ldots ,\\&\mathrm {Z=P_{1}A_{1}+P_{2}A_{2}+P_{3}A_{3}+P_{4}A_{4}} +\ldots .\end{aligned}}$

Ces valeurs satisferont donc à l’équation

$\mathrm {X+\alpha Y+\alpha ^{2}Z} =\left(x+\alpha y+\alpha ^{2}z\right)^{m}\,;$

et, comme la racine $\alpha$ n’entre point en particulier dans les expressions de $\mathrm {X,Y}$ et $\mathrm {Z} ,$ il est clair qu’on pourra changer $\alpha$ en $\beta ,$ ou en $\gamma ,$ de sorte qu’on aura également

${\begin{aligned}&\mathrm {X+\beta Y+\beta ^{2}Z} =\left(x+\beta y+\beta ^{2}z\right)^{m},\\&\mathrm {X+\gamma Y+\gamma ^{2}\,Z} =\left(x+\gamma y+\gamma ^{2}z\right)^{m}.\end{aligned}}$

Or, multipliant ensemble ces trois équations, il est visible que le premier membre sera le même que celui de l’équation proposée, et que le second sera égal à une puissance $m,$ dont la racine étant nommée $\mathrm {V} ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {V} =x^{3}&+ax^{2}y+\left(a^{2}-2b\right)x^{2}z+bxy^{2}+(ab-3c)xyz\\&+\left(b^{2}-2ac\right)xz^{2}+cy^{3}+acy^{2}z+bcyz^{2}+c^{2}z^{3}.\end{aligned}}$