il est clair que, pour rendre cette quantité égale à une puissance du degré
il ne faudra que rendre chacun de ses facteurs en particulier égal à une pareille puissance. Soit donc
![{\displaystyle \mathrm {X+\alpha Y+\alpha ^{2}Z} =(x+\alpha y+\alpha ^{2}z)^{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc51672fa20cd27f62396f6ebdec6369c9191fb0)
on commencera par développer la puissance
de
par le théorème de Newton, ce qui donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{m}&+mx^{m-1}(y+\alpha z)\alpha +{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}(y+\alpha z)^{2}\alpha ^{2}\\&+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}(y+\alpha z)^{3}\alpha ^{3}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ceb79f390de350512557b464b680522d0eb6e44)
ou bien, en formant les différentes puissances de
et ordonnant ensuite par rapport aux dimensions de ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{m}&+mx^{m-1}y\alpha +\left[mx^{m-1}z+{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}y^{2}\right]\alpha ^{2}\\&+\left[m(m-1)x^{m-2}yz+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}y^{3}\right]\alpha ^{3}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb8a43217c0c0df90a3f87379d0bfd9286c8e3a)
Mais, comme dans cette formule on ne voit pas aisément la loi des termes, nous supposerons, en général,
![{\displaystyle \left(x+\alpha y+\alpha ^{2}z\right)^{m}=\mathrm {P+P_{1}\alpha +P_{2}\alpha ^{2}+P_{3}\alpha ^{3}+P_{4}\alpha ^{4}} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bca1f749a16d43530a11b12bdff80eca3ef627)
et l’on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} \ \,&=x^{m},\\\mathrm {P} _{1}&={\frac {my\mathrm {P} }{x}},\\\mathrm {P} _{2}&={\frac {(m-1)y\mathrm {P} _{1}+2mz\mathrm {P} }{2x}},\\\mathrm {P} _{3}&={\frac {(m-2)y\mathrm {P} _{2}+(2m-1)z\mathrm {P} _{1}}{3x}},\\\mathrm {P} _{4}&={\frac {(m-3)y\mathrm {P} _{3}+(2m-2)z\mathrm {P} _{2}}{4x}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407ca24e76ba5cd8125621b0604adce983e3ac32)
c’est ce qui se démontre facilement par le Calcul différentiel.