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on aura

$\alpha ^{3}-a\alpha ^{2}+b\alpha -c=0,\quad {\text{par conséquent}}\quad \alpha ^{3}=a\alpha ^{2}-b\alpha +c\,;$

donc

$\alpha ^{4}=a\alpha ^{3}-b\alpha ^{2}+c\alpha =\left(a^{2}-b\right)\alpha ^{2}-(ab-c)\alpha +ac\,;$

de sorte qu’en substituant ces valeurs et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&xx_{1}+c(yz_{1}+zy_{1})+aczz_{1},\\\mathrm {Y} =&xy_{1}+yx_{1}-b(yz_{1}+zy_{1})-(ab-c)zz_{1},\\\mathrm {Z} =&xz_{1}+zx_{1}+yy_{1}+a(yz_{1}+zy_{1})+\left(a^{2}-b\right)zz_{1},\end{aligned}}$

le produit dont il s’agit deviendra de cette forme

$\mathrm {X+\alpha Y+\alpha ^{2}Z} ,$

c’est-à-dire de la même forme que chacun des produisants. Or, comme la racine $\alpha$ n’entre point dans les valeurs de $\mathrm {X,Y,Z} ,$ il est clair que ces quantités seront les mêmes en changeant $\alpha$ en $\beta$ ou en $\gamma \,;$ donc, puisque l’on a déjà

$\left(x+\alpha y+\alpha ^{2}z\right)\left(x_{1}+\alpha y_{1}+\alpha ^{2}z_{1}\right)=\mathrm {X+\alpha Y+\alpha ^{2}Z} ,$

on aura aussi, en changeant $\alpha$ en $\beta ,$

$\left(x+\beta y+\beta ^{2}z\right)\left(x_{1}+\beta y_{1}+\beta ^{2}z_{1}\right)=\mathrm {X+\beta Y+\beta ^{2}Z} ,$

et, en changeant $\alpha$ en $\gamma ,$

$\left(x+\gamma y+\gamma ^{2}z\right)\left(x_{1}+\gamma y_{1}+\gamma ^{2}z_{1}\right)=\mathrm {X+\gamma Y+\gamma ^{2}Z} \,;$

donc, multipliant ces trois équations ensemble, on aura d’un côté le produit des deux formules proposées, et de l’autre la formule

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{3}&+a\mathrm {X^{2}Y} +\left(a^{2}-2b\right)\mathrm {X^{2}Z} +b\mathrm {XY^{2}} +(ab-3c)\mathrm {XYZ} \\&+\left(b^{2}-2ac\right)\mathrm {XZ^{2}} +c\mathrm {Y} ^{3}+ac\mathrm {Y^{2}Z} +bc\mathrm {YZ^{2}} +c^{2}\mathrm {Z} ^{3},\end{aligned}}$

qui sera donc égale au produit demandé, et qui est, comme l’on voit, de la même forme que chacune des deux formules dont elle est composée.