Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/170

Ainsi, si l’on proposait de trouver des valeurs rationnelles de $\mathrm {X} _{1}$ et $\mathrm {Y} _{1},$ telles que la formule

$\mathrm {X} _{1}^{2}+a\mathrm {X_{1}Y_{1}} +b\mathrm {Y} _{1}^{2}$

devînt un cube, il n’y aurait qu’à donner à $\mathrm {X} _{1}$ et $\mathrm {Y} _{1}$ les valeurs précédentes, moyennant quoi on aurait un cube dont la racine serait

$x^{2}+axy+by^{2},$

$x$ et $y$ étant deux indéterminées.

On pourrait résoudre d’une manière semblable les questions où il s’agirait de produire des puissances quatrièmes, cinquièmes,… ; mais on peut aussi trouver immédiatement des formules générales pour une puissance quelconque $m,$ sans passer par les puissances inférieures.

Soit donc proposé de trouver des valeurs rationnelles de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ telles que la formule

$\mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}$

devienne une puissance $m,$ c’est-à-dire qu’il s’agisse de résoudre l’équation

$\mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}=\mathrm {Z} ^{m}.$

Comme la quantité $\mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}$ est formée du produit des deux facteurs $\mathrm {X+\alpha Y}$ et $\mathrm {X+\beta Y} ,$ il faudra, pour que cette quantité devienne une puissance de degré $m,$ que chacun de ses deux facteurs devienne aussi une semblable puissance.

Faisons donc d’abord

$\mathrm {X+\alpha Y} =(x+\alpha y)^{m},$

et, développant cette puissance par le théorème de Newton, on aura

$x^{m}+mx^{m-1}y\alpha +{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}y^{2}\alpha ^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}y^{3}\alpha ^{3}+\ldots .$

Or, puisque $\alpha$ est une des racines de l’équation

$s^{2}-as+b=0,$