le produit cherché serait
![{\displaystyle \mathrm {X} _{1}^{2}+a\mathrm {X} _{1}\mathrm {Y} _{1}+b\mathrm {Y} _{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe7de8665c41d222560e336916e9be596048399)
On pourra trouver de même le produit de quatre ou d’un plus grand nombre de formules semblables à celle-ci
![{\displaystyle x^{2}+axy+by^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1b540b1d3918da67cc1fd41219417088e7ced3)
et ces produits seront toujours aussi de la même forme.
89. Si l’on fait
et
on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} =x^{2}-by^{2},\quad \mathrm {Y} =2xy+ay^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab135605e71b7c4eaa1a1dab5310b41b7c8eed6c)
et par conséquent
![{\displaystyle \left(x^{2}+axy+by^{2}\right)^{2}=\mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a1990dc23448685008b4f5b4cf990b00b9ffa9e)
Donc, si l’on veut trouver des valeurs rationnelles de
et
telles que la formule
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb55c14114212a733be8e13440f4b8dfacd7cf9e)
devienne un carré, il n’y aura qu’à donner à
et à
les valeurs précédentes, et l’on aura pour la racine du carré la formule
![{\displaystyle x^{2}+axy+by^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1b540b1d3918da67cc1fd41219417088e7ced3)
et
étant deux indéterminées.
Si l’on fait de plus
et
on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} _{1}=\mathrm {X} x-b\mathrm {Y} y,\quad \mathrm {Y} _{1}=\mathrm {X} y+\mathrm {Y} x+a\mathrm {Y} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d9a0542d8f36ebb1dcb11c97f03b8ef4a6b50f)
c’est-à-dire, en substituant les valeurs précédentes de
et ![{\displaystyle \mathrm {Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfe55c77be1229851f04a8368f8b6f25f51f47d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}=&x^{3}-3bxy^{2}-aby^{3},\\\mathrm {Y} _{1}=&3x^{2}y+3axy^{2}+\left(a^{2}-b\right)y^{3}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c377ee89804f79b7d876f92b5ad49d43f8a8b812)
donc
![{\displaystyle \left(x^{2}+axy+by^{2}\right)^{3}=\mathrm {X} _{1}^{2}+a\mathrm {X_{1}Y_{1}} +b\mathrm {Y} _{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3997b3b1814730e0fdce3ae1dad52cb85f4f483)