donc, substituant cette valeur de
dans la formule précédente, elle deviendra
![{\displaystyle xx_{1}-byy_{1}+\alpha (xy_{1}+yx_{1}+ayy_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0bfbea16db07eb5a042842ba4325a51e039fe15)
de sorte qu’en faisant, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&xx_{1}-byy_{1},\\\mathrm {Y} =&xy_{1}\,-yx_{1}+ayy_{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0feade9370fd8b397f58fbe676f801a427a60780)
le produit des deux facteurs
sera
![{\displaystyle \mathrm {X+\alpha Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf53965a28622392a44098ff48db168634fb895)
et par conséquent de la même forme que chacun d’eux. On trouvera de même que le produit des deux autres facteurs
et
sera
![{\displaystyle \mathrm {X+\beta Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db50316fe42ba715dfd3cdf28186bea533069b4)
de sorte que le produit total sera
![{\displaystyle \mathrm {(X+\alpha Y)(X+\beta Y)} ,\quad {\text{savoir}}\quad \mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/805252fe8a03f75665b421e90fe446d0b7dfcec5)
C’est le produit des deux formules semblables
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+ax\ \,y\ \,+by^{2},\\&x_{1}^{2}+ax_{1}y_{1}+by_{1}^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ff8170b6dd4630d9c1b9d7745aac0c78189edd)
Si l’on voulait avoir le produit de ces trois formules semblables
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+ax\ \,y\ \,+by^{2},\\&x_{1}^{2}+ax_{1}y_{1}+by_{1}^{2},\\&x_{2}^{2}+ax_{2}y_{2}+by_{2}^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0bf913fad2d637935556566e3be24e70b62e83)
il n’y aurait qu’à trouver celui de la formule
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+a\mathrm {XY} +b\mathrm {Y} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb55c14114212a733be8e13440f4b8dfacd7cf9e)
par la dernière
et il est visible par les formules ci-dessus qu’en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}=&\mathrm {X} x_{2}-b\mathrm {Y} y_{2},\\\mathrm {Y} _{1}=&\mathrm {X} y_{2}\,+\mathrm {Y} x_{2}+a\mathrm {Y} y_{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bef16cfb9ffcc04e0da89d0c055e922f4452747)