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Aussi, Wallis remarque-t-il expressément qu’on peut employer à volonté les limites en plus ou en moins pour les nombres $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,$ et il propose même ce moyen comme propre à abréger souvent le calcul c’est aussi ce que Euler fait observer dans le n^o 102 et suivant du Chapitre cité ; cependant je vais faire voir par un exemple qu’en s’y prenant de cette manière on peut risquer de ne jamais parvenir à la solution de l’équation proposée.

Prenons l’Exemple du n^o 101 du même Chapitre, où il s’agit de résoudre une équation de cette forme

$p^{2}=6q^{2}+1,\quad {\text{ou bien}}\quad p^{2}-6q^{2}=1.$

On aura donc $p={\sqrt {6q^{2}+1}},$ et, négligeant le terme constant $1,$ $p=q{\sqrt {6}}\,;$ donc ${\frac {p}{q}}={\sqrt {6}}>2$ et $<3\,;$ prenons la limite en moins, et faisons $\mu =2,$ et ensuite $p=2q+r\,;$ substituant donc cette valeur, on aura

$-2q^{2}+4qr+r^{2}=1\,;$

donc

$q={\frac {2r+{\sqrt {6r^{2}-2}}}{2}},$

ou bien, en rejetant le terme constant $-2,$

$q={\frac {2r+r{\sqrt {6}}}{2}},\quad {\text{d’où}}\quad {\frac {q}{r}}={\frac {2+{\sqrt {6}}}{2}}>2$ et $<3.$

Prenons de nouveau la limite en moins, et faisons $q=2r+s\,;$ la dernière équation deviendra

$r^{2}-4rs-2s^{2}=1,$

où l’on voit d’abord qu’on peut supposer $s=0$ et $r=1\,;$ ainsi l’on aura $q=2,$ $p=5.$

Maintenant reprenons la première transformée

$-2q^{2}+4qr+r^{2}=1,$

où nous avons vu que ${\frac {q}{r}}>2$ et $<3,$ et, au lieu de prendre la limite en