Il ne reste donc qu’à essayer l’autre valeur
laquelle donnera
![{\displaystyle m={\frac {-33}{10}}=-3,\quad n_{1}=-33+3.10=-3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4745f21f866236f652b6180df28e55e15699cb)
![{\displaystyle \mathrm {D} _{2}={\frac {-9-79}{10}}=-7,\quad y=-3y_{1}+y_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0601d41918087d954bbfd5e231531664a78ff4d8)
de sorte qu’on aura cette autre transformée,
![{\displaystyle -7y_{1}^{2}+6y_{1}y_{2}+10y_{2}^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044db133cbcd7a16c292ed578ec1477f3a4193e7)
laquelle se réduit à la forme
![{\displaystyle (-7y_{1}-3y_{2})^{2}-79y_{2}^{2}=-7,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd111e8e3e27274e336223261379e7831bc4396b)
qui est semblable à la précédente ; d’où je conclus que l’équation proposée n’admet absolument aucune solution en nombres entiers.
Remarque.
83. Euler, dans un excellent Mémoire imprimé dans le tome IX des nouveaux Commentaires de Pétersbourg, trouve par induction cette règle, pour juger de la résolubilité de toute équation de la forme
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5ce6deaa71dc055c2f8e295af346d0ec950a1e)
lorsque
est un nombre premier ; c’est que l’équation doit être possible toutes les fois que
sera de la forme
ou
mais l’Exemple précédent met cette règle en défaut ; car
est un nombre premier de la forme
en faisant
et
cependant l’équation
![{\displaystyle x^{2}-79y^{2}=101}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca005234cb009a9cba805305b2487c0b04818e0)
n’admet aucune solution en nombres entiers.
Si la règle précédente était vraie, il s’ensuivrait que, si l’équation
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8251dc1c35a34d5cc7f7a5ad6b08ddc0f4b3db26)
est possible lorsque
a une valeur quelconque
elle le serait aussi en prenant
pourvu que
fût un nombre premier. On pour-