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où l’on pourra donner à $m$ telle valeur qu’on voudra, pourvu qu’on ne prenne que des nombres entiers positifs.

Or, comme les valeurs de $t$ et $u$ peuvent être prises tant en plus qu’en moins, les valeurs de $y$ qui peuvent satisfaire à la question seront toutes renfermées dans ces deux formules

${\begin{aligned}y=&\pm 74t\pm 267u,\\y=&\pm 34t\pm 123u,\end{aligned}}$

les signes ambigus étant à volonté.

Si l’on fait $m=0,$ on aura $t=1$ et $u=0\,;$ donc

$r=\pm 74,\quad {\text{ou}}\quad =\pm 34,$

et cette dernière valeur sera la plus petite qui puisse résoudre le Problème.

Nous avons déjà résolu ce même Problème dans les Mémoires de Berlin pour l’année 1768, page 243^[1] ; mais, comme nous y avons fait usage d’une méthode un peu différente de la précédente, et qui revient au même pour le fond que la première méthode du n^o 66 ci-dessus, nous avons cru devoir le redonner ici, pour que la comparaison des résultats, qui sont les mêmes par l’une et l’autre méthode, puisse leur servir de confirmation, s’il en est besoin.

Exemple III.

82. Soit proposé encore de trouver des nombres entiers qui, étant pris pour $y,$ rendent rationnelle la quantité

${\sqrt {79y^{2}+101}}.$

On aura donc à résoudre en entiers l’équation

$x^{2}-79y^{2}=101,$

dans laquelle $y$ sera premier à $101,$ puisque ce nombre ne renferme aucun facteur carré.

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 719.