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ainsi l’on aura les mêmes valeurs de $\mathrm {D_{2},D_{3}}$ et $n_{2}$ qu’auparavant, de sorte que la transformée en $y_{2}$ et $y_{3}$ sera aussi la même.

On aura donc aussi $y_{3}=18,$ et $y_{2}=5\,;$ donc

$y_{1}=-y_{2}+y_{3}=13,\quad {\text{et}}\quad y=-3y_{1}+y_{2}=-34.$

Nous avons donc trouvé deux valeurs de $y$ avec les valeurs correspondantes de $y_{1}$ ou $z,$ et ces valeurs résultent de la supposition de $n=\pm 35\,;$ or, comme on ne peut trouver aucune autre valeur de $n$ qui ait les conditions requises, il s’ensuit que les valeurs précédentes seront les seules valeurs primitives que l’on puisse avoir ; mais on pourra ensuite en trouver une infinité de dérivées par la méthode du n^o 72.

Prenant donc ces valeurs de $y$ et $z$ pour $p$ et $q,$ on aura, en général (numéro cité),

${\begin{aligned}y=&74t-(101.23-35.74)u=74t+267u,\\z=&23t+(12.74-35.23)u=23t+83u,\end{aligned}}$

ou

${\begin{aligned}y=&-34t-(101.13-35.34)u=-34t-123u,\\z=&13t+(-12.34+35.13)u=13t+47u,\end{aligned}}$

et il n’y aura plus qu’à tirer les valeurs de $t$ et $u$ de l’équation

$t^{2}-13u^{2}=1.$

Or ces valeurs se trouvent déjà toutes calculées dans la Table qui est à la fin du Chapitre VII du Traité précédent ; on aura donc sur-le-champ $t=649$ et $u=180\,;$ de sorte que, prenant ces valeurs pour $\mathrm {T}$ et $\mathrm {U}$ dans les formules du n^o 75, on aura en général

${\begin{aligned}t=&{\frac {\left(649+180{\sqrt {13}}\right)^{m}+\left(649-180{\sqrt {13}}\right)^{m}}{2}},\\u=&{\frac {\left(649+180{\sqrt {13}}\right)^{m}-\left(649-180{\sqrt {13}}\right)^{m}}{2{\sqrt {13}}}},\end{aligned}}$