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d’abord que la résolution est possible. On supposera donc $\xi =y_{3}=0,$ $\psi =y_{4}=\pm 1\,;$ et l’on aura, par les formules ci-dessus,

$y_{2}=\pm 1,\quad y_{1}=\mp 3=z,\quad y=\mp 12\pm 1=\mp 11,$

les signes ambigus étant à volonté. Donc

$x=321y-1171z=18,$

et conséquemment

$s={\frac {x+31}{7}}={\frac {31\mp 18}{7}}={\frac {13}{7}},\quad {\text{ou}}\quad ={\frac {49}{7}}=7.$

Or, comme on exige que la valeur de $s$ soit égale à un nombre entier, on ne pourra prendre que $s=7$.

Il est remarquable que l’autre valeur de $s,$ savoir ${\frac {13}{7}},$ quoique fractionnaire, donne néanmoins un nombre entier pour la valeur du radical ${\sqrt {30+62s-7s^{2}}},$ et le même nombre $11$ que donne la valeur $s=7\,;$ de sorte que ces deux valeurs de $s$ seront les racines de l’équation

$30+62s-7s^{2}=121.$

Nous avons supposé ci-dessus $n=321\,;$ or on peut faire également $n=-321\,;$ mais il est facile de voir d’avance que tout le changement qui en résultera dans les formules précédentes, c’est que les valeurs de $m,m_{1},m_{2}$ et de $n_{1},n_{2}$ changeront de signe ; moyennant quoi les valeurs de $y_{1}$ et de $y$ deviendront aussi de différents signes, ce qui ne donnera aucun nouveau résultat, puisque ces valeurs ont déjà d’elles-mêmes le signe ambigu $\pm .$

Il en sera de même dans tous les autres cas, de sorte qu’on pourra toujours se dispenser de prendre successivement la valeur de $n$ en plus et en moins.

La valeur $s=7,$ que nous venons de trouver, résulte de la valeur de $n=\pm 321\,;$ on pourrait trouver d’autres valeurs de $s,$ si l’on trouvait d’autres valeurs de $n$ qui eussent la condition requise ; mais, comme le diviseur $\mathrm {B} =1171$ est un nombre premier, il ne saurait y avoir d’autres