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dire au cas du n^o 77, où les expressions proposées sont de la forme

$\alpha t+\beta u+\gamma ,\quad \alpha _{1}t+\beta _{1}u+\gamma _{1},$

et les diviseurs sont $\delta$ et $\delta _{1}.$

Il faudra seulement se souvenir de prendre les nombres $t$ et $u$ successivement en plus et en moins, pour avoir tous les cas possibles.

Exemple I.

80. Soit proposé de rendre rationnelle cette quantité

${\sqrt {30+62s-7s^{2}}},$

en ne prenant pour $s$ que des nombres entiers.

On aura donc à résoudre cette équation

$30+62s-7s^{2}=y^{2},$

laquelle, étant multipliée par $7,$ peut se mettre sous cette forme

$7.30+(31)^{2}-(7s-31)^{2}=7y^{2},$

ou bien, en faisant $7s-31=x$ et transposant,

$x^{2}=1171-7y^{2},\quad {\text{ou}}\quad x^{2}+7y^{2}=1171.$

Cette équation est donc maintenant dans le cas du n^o 64, de sorte qu’on aura $\mathrm {A} =-7$ et $\mathrm {B} =1171\,;$ d’où l’on voit d’abord que $y$ et $\mathrm {B}$ doivent être premiers entre eux, puisque ce dernier nombre ne renferme aucun facteur carré.

On fera, suivant la méthode du n^o 65,

$x=ny-1171z,$

et il faudra, pour que l’équation soit résoluble, que l’on puisse trouver pour $n$ un nombre entier, positif ou négatif, non $>{\frac {\mathrm {B} }{2}},$ c’est-à-dire non $>586,$ tel que $n^{2}-\mathrm {A}$ ou $n^{2}+7$ soit divisible par $\mathrm {B}$ ou par $1171.$