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79. Supposons maintenant que l’on ait une expression quelconque composée de $t$ et $u$ et de nombres entiers donnés, de manière qu’elle représente toujours des nombres entiers, et qu’il s’agisse de trouver les valeurs qu’il faudrait donner à l’exposant $m,$ pour que cette expression devienne divisible par un nombre quelconque donné $\Delta \,;$ il n’y aura qu’à faire successivement $m=1,2,3,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {M} \,;$ et, si aucune de ces suppositions ne rend l’expression proposée divisible par $\Delta ,$ on en conclura hardiment qu’elle ne peut jamais le devenir, quelques valeurs qu’on donne à $m$.

Mais, si l’on trouve de cette manière une ou plusieurs valeurs de $m$ qui rendent la proposée divisible par $\Delta ,$ alors nommant $\mathrm {N}$ chacune de ces valeurs, toutes les valeurs possibles de $m$ qui pourront faire le même effet seront

$\mathrm {N,\quad N+M,\quad N+2M,\quad N+3M} ,\quad \ldots ,$

et, en général,

$\mathrm {N+\lambda M} ,$

$\lambda$ étant un nombre entier quelconque.

De même, si l’on avait une autre expression composée de même de $t,u$ et de nombres entiers donnés, laquelle dût être en même temps divisible par un autre nombre quelconque donné $\Delta _{1},$ on chercherait pareillement les valeurs convenables de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {N} ,$ que nous désignerons ici par $\mathrm {M} _{1}$ et $\mathrm {N} _{1},$ et toutes les valeurs de l’exposant $m$ qui pourront satisfaire à la condition proposée seront renfermées dans la formule

$\mathrm {N_{1}+\lambda _{1}M_{1}} ,$

$\lambda _{1}$ étant un nombre quelconque entier. Ainsi il n’y aura plus qu’à chercher les valeurs qu’on doit donner aux nombres entiers $\lambda$ et $\lambda _{1},$ pour que l’on ait

$\mathrm {N+\lambda M=N_{1}+\lambda _{1}M_{1}} ,$

savoir

$\mathrm {M\lambda -M_{1}\lambda _{1}=N_{1}-N} ,$

équation résoluble par la méthode du n^o 42.

Il est maintenant aisé de faire l’application de ce que nous venons de