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en sorte que l’on ait l’équation

$\mathrm {A} s^{2}+2gs+h=y^{2}\,;$

et, tirant la valeur de $s,$ on aura

$\mathrm {A} s+g={\sqrt {\mathrm {A} y^{2}+g^{2}-\mathrm {A} h}},$

de sorte qu’il ne s’agira plus que de rendre carrée la formule

$\mathrm {A} y^{2}+g^{2}-\mathrm {A} h.$

Donc, si l’on fait encore

$g^{2}-\mathrm {A} h=\mathrm {B} ,$

on aura à rendre rationnel le radical

${\sqrt {\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} }}\,;$

c’est à quoi on parviendra par les méthodes données.

Soit ${\sqrt {\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} }}=x,$ en sorte que l’équation à résoudre soit

$\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} =x^{2}\,;$

on aura donc

$\mathrm {A} s+g=\pm x\,;$

d’ailleurs on a déjà

$2ar+bs+d=\pm y.$

Ainsi, dès qu’on aura trouvé les valeurs de $x$ et $y,$ on aura celles de $r$ et $s$ par les deux équations

$s={\frac {\pm x-g}{\mathrm {A} }},\quad r={\frac {\pm y-d-bs}{2a}}.$

Or, comme $r$ et $s$ doivent être des nombres entiers, il est visible qu’il faudra : 1^o que $x$ et $y$ soient des nombres entiers aussi ; 2^o que $\pm x-g$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ et qu’ensuite $\pm y-d-bs$ le soit par $2a.$ Ainsi, après avoir trouvé toutes les valeurs possibles de $x$ et $y$ en. nombres entiers, il restera encore à trouver parmi ces valeurs celles qui pourront rendre $r$ et $s$ des nombres entiers.