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Or, il est facile de voir que la quantité précédente doit être plus petite que celle-ci, à cause de $\theta >t_{3}$ et $\upsilon >u_{3}\,;$ donc on aura une valeur de $u,$ qui sera moindre que la quantité $t_{3}u_{4}-u_{3}t_{4}\,;$ mais cette quantité est égale à $\mathrm {U} \,;$ car

${\begin{aligned}t_{3}=&\mathrm {\frac {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}+\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}}{2}} ,\\t_{4}=&\mathrm {\frac {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{4}+\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{4}}{2}} ,\\u_{3}=&\mathrm {\frac {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}-\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}}{2{\sqrt {A}}}} ,\\u_{4}=&\mathrm {\frac {\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{4}-\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{4}}{2{\sqrt {A}}}} ,\end{aligned}}$

d’où

$t_{3}u_{4}-u_{4}t_{3}=\mathrm {\frac {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{4}-\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{4}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}}{2{\sqrt {A}}}} \,;$

de plus,

$\mathrm {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}=\left(T^{2}-AU^{2}\right)^{3}=1} ,$

puisque $\mathrm {T^{2}-AU^{2}} =1$ (hyp.) ; donc

${\begin{aligned}&\mathrm {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{3}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{4}=T+U{\sqrt {A}}} ,\\&\mathrm {\left(T-U{\sqrt {A}}\right)^{4}\left(T+U{\sqrt {A}}\right)^{3}=T-U{\sqrt {A}}} ,\end{aligned}}$

de sorte que la valeur de $t_{3}u_{4}-u_{3}t_{4}$ se réduira à

$\mathrm {{\frac {2U{\sqrt {A}}}{2{\sqrt {A}}}}=U} .$

Il s’ensuivrait donc de là qu’on aurait une valeur de $u<\mathrm {U} ,$ ce qui est contre l’hypothèse, puisque $\mathrm {U}$ est supposé la plus petite valeur possible de $u\,;$ donc il ne saurait y avoir des valeurs de $t$ et $u$ intermédiaires entre celles-ci $t_{3},t_{4}$ et $u_{3},u_{4}.$ Et comme ce raisonnement peut s’appliquer en général à toutes valeurs de $t$ et $u$ qui résulteraient des formules ci-dessus, en y faisant $m$ égal à un nombre entier quelconque, on en peut conclure