qui satisfassent aussi à l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a14014161ef9369d287311b7b619478f232643d)
Puisque l’on a
![{\displaystyle t_{3}^{2}-\mathrm {A} u_{3}^{2}=1,\quad t_{4}^{2}-\mathrm {A} u_{4}^{2}=1,\quad \theta ^{2}-\mathrm {A} \upsilon ^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e358594db9b5fc9e9673f94d25038015f1ff7d7)
on aura
![{\displaystyle \theta ^{2}-t_{3}^{2}=\mathrm {A} \left(\upsilon ^{2}-u_{3}^{2}\right),\quad {\text{et}}\quad t_{4}^{2}-\theta ^{2}=\mathrm {A} \left(u_{4}^{2}-\upsilon ^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935d2a4aff44db533edfa3f3b4597b3ccc360b50)
d’où l’on voit que, si
et
on aura aussi
et
De plus, on aura aussi ces autres valeurs de
et
savoir
![{\displaystyle t=\theta _{4}t-\mathrm {A} \upsilon u_{4},\quad u=\theta u_{4}-\upsilon t_{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b906c5ebbce42bb4ec7c24305609867d9d94c1ce)
qui satisferont à la même équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7e0fab61de4f6a5b86950c0e1bbf79ad9bb348)
car, en les y substituant, on aurait
![{\displaystyle (\theta t_{4}-\mathrm {A} \upsilon u_{4})^{2}-\mathrm {A} (\upsilon t_{4}-\theta u_{4})^{2}=\left(\theta ^{2}-\mathrm {A} \upsilon ^{2}\right)\left(t_{4}^{2}-\mathrm {A} u_{4}^{2}\right)=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515d0a361a6fe9f75dfec4f94847746a811f7eec)
équation identique à cause de (hyp.)
![{\displaystyle \theta ^{2}-\mathrm {A} \upsilon ^{2}=1,\quad t_{4}^{2}-\mathrm {A} u_{4}^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe6414a0a72dc639e7a3d8abddb5f6d068334b0)
Or ces deux dernières équations donnent
![{\displaystyle \theta -\upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}={\frac {1}{\theta +\upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}}},\quad t_{4}-u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}={\frac {1}{t_{4}+u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056bd115e3b344e39eae4d93cebbe6f928647bfd)
donc, mettant dans l’expression de
à la place de
et à la place de
on aura
![{\displaystyle u={\frac {u_{4}}{\theta +\upsilon {\sqrt {\mathrm {A} }}}}-{\frac {\upsilon }{t_{4}+u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144186587283e09e04f00fd9e0f947a4f030775f)
de même, si l’on considère la quantité
elle pourra aussi, à cause de
se mettre sous la forme
![{\displaystyle {\frac {u_{4}}{t_{3}+u_{3}{\sqrt {\mathrm {A} }}}}-{\frac {u_{3}}{t_{4}+u_{4}{\sqrt {\mathrm {A} }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d6a7ca9b562fa6fa37ded186e2cd2b77729bc4)