2o Mais, si
est un nombre positi\int non carré, alors l’équations
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ce9a66296db7fc84d353a82966061d61501186)
est toujours susceptible d’une infinité de solutions en nombres entiers (no 37), qu’on peut trouver toutes par les formules données ci-dessus (no 71, 2o) ; mais il suffira de trouver les plus petites valeurs de
et
et pour cela, dès que l’on sera parvenu, dans la série
à un terme égal à l’unité, il n’y aura qu’à calculer, par les formules du no 25, les termes correspondants des deux séries
et
Ce seront les valeurs cherchées de
et
d’où l’on voit que le même calcul qu’on aura fait pour la résolution de l’équation
![{\displaystyle \upsilon ^{2}-\mathrm {A} \xi ^{2}=\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed52751069c1e1f357d5653d75d4e7c3999e9b33)
servira aussi pour celle de l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a14014161ef9369d287311b7b619478f232643d)
Au reste, tant que
ne passe pas
on a les plus petites valeurs de
et
toutes calculées dans la Table[1] qui est à la fin du Chapitre VII du Traité précédent, et dans laquelle les nombres
sont les mêmes que ceux que nous appelons ici
et
74. Désignons par
les plus petites valeurs de
dans l’équation
![{\displaystyle t^{2}-\mathrm {A} u^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7e0fab61de4f6a5b86950c0e1bbf79ad9bb348)
et de même que ces valeurs peuvent servir à trouver de nouvelles va-
- ↑ Voici encore quelques exemples, lorsque
est plus grand que
:
![{\displaystyle {\text{Si }}a=103,{\text{ on aura, }}\left\{{\begin{aligned}n\ =&\ \ 22419,\\m=&227528\,;\end{aligned}}\right.\quad \ {\text{Si }}a=109,{\text{ on aura, }}\left\{{\begin{aligned}n\ =&\ \ 15140424455100,\\m=&158070671986249\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e790ee73285204f4635ddcb422dbf2ed52513ebe)
![{\displaystyle {\text{Si }}a=113,{\text{ on aura, }}\left\{{\begin{aligned}n\ =&\ \ 113296,\\m=&1204353\,;\end{aligned}}\right.\quad {\text{Si }}a=157,{\text{on aura, }}\left\{{\begin{aligned}n\ =&\ \ 3726964292220,\\m=&46698728731849\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e0f48c815c64753eb87ac5e2b7de9d748838d0)
et si
il viendra
![{\displaystyle n=5763448635,\quad m=110413985786.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9db2dd6405ee475573a6b31dc8930d06705fb07)