le-champ, par le moyen de cette Table, de la résolubilité de l’équation
![{\displaystyle \upsilon ^{2}-\mathrm {A} \xi ^{2}=\mathrm {M} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340be2c076d14575edcf3cf79aed2c1b966cdedb)
De la manière de trouver toutes les solutions possibles de l’équation
lorsqu’on n’en connaît qu’une seule.
72. Quoique, par les méthodes que nous venons de donner, on puisse trouver successivement toutes les solutions de cette équation, lorsqu’elle est résoluble en nombres entiers, cependant on peut parvenir à cet objet d’une manière encore plus simple, que voici :
Qu’on nomme
et
les valeurs trouvées de
et
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {C} p^{2}-2npq+\mathrm {B} q^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46254f17f998198b8d850ea046d993ee3a0dd19)
et qu’on prenne deux autres nombres entiers
et
tels que
(ce qui est toujours possible, à cause que
et
sont nécessairement premiers entre eux) ; qu’on suppose ensuite
![{\displaystyle y=pt+ru,\quad z=qt+su,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b5a3a0a2be510e9a640a5fea0ef6c50e69054c)
et
étant deux nouvelles indéterminées ; substituant ces expressions dans l’équation
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bfddf09a6ea970a77219066bcb112a9f87a3d0)
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {C} p^{2}-2npq+\mathrm {B} q^{2},\\\mathrm {Q} =&\mathrm {C} pr-n(ps+qr)+\mathrm {B} qs,\\\mathrm {R} =&\mathrm {C} r^{2}-2nrs+\mathrm {B} s^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ff1645ddee0ecc29ba71aba238f18fc47b8aaa)
on aura cette transformée
![{\displaystyle \mathrm {P} t^{2}+2\mathrm {Q} tu+\mathrm {R} u^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40cd260929c665dac03a761ba4cb792554b6152b)
Or on a (hyp.)
de plus, si l’on nomme
et
deux valeurs de
et
qui satisfassent à l’équation
on aura, en général (no 42),
![{\displaystyle r=\rho +mp,\quad s=\sigma +mq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37325132392d0266fea85b5f151fc7b124245f1)