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de sorte que $\psi$ ne saurait être un nombre entier, comme il le doit (hyp.), à moins que $\mu$ ne soit égal à l’unité, soit $=\pm 1,$ et par conséquent $\mathrm {M} =1.$

De là je tire donc cette conséquence, que l’équation proposée ne saurait étre résoluble en nombres entiers, à moins que $\mathrm {M}$ ne se trouve égal à l’unité positive. Si cette condition a lieu, alors on fera $\xi =0,\ \psi =\pm 1,$ et l’on remontera de ces valeurs à celles de $y$ et $z.$

Cette méthode revient, pour le fond, au même que celle du n^o 67, mais elle a sur celle-là l’avantage de n’exiger aucun tâtonnement.

2^o Soit maintenant $\mathrm {A}$ un nombre positif ; on aura $\mathrm {A=N^{2}-LM} \,;$ or, comme $\mathrm {N} ^{2}$ ne peut pas être plus grand que $\mathrm {\frac {LM}{4}} ,$ il est clair que l’équation ne pourra subsister, à moins que $-\mathrm {LM}$ ne soit un nombre positif, c’est-à-dire que $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M}$ ne soient de signes différents. Ainsi $\mathrm {A}$ sera nécessairement $<-\mathrm {LM}$ ou tout au plus $=-\mathrm {LM} ,$ si $\mathrm {N} =0,$ de sorte qu’on aura $-\mathrm {LM} =$ ou $<\mathrm {A} ,$ et par conséquent $\mathrm {M} ^{2}=$ ou $<\mathrm {A} ,$ ou $\mathrm {M} =$ ou $<{\sqrt {\mathrm {A} }}.$

Le cas de $\mathrm {M={\sqrt {A}}}$ ne peut avoir lieu que lorsque $\mathrm {A}$ est un carré ; par conséquent ce cas est très-facile à résoudre par la méthode donnée plus haut (n^o 69).

Reste donc le cas où $\mathrm {A}$ n’est pas carré et dans lequel on aura nécessairement $\mathrm {M<{\sqrt {A}}}$ (abstraction faite du signe de $\mathrm {M}$) ; alors l’équation

$\upsilon ^{2}-\mathrm {A} \xi ^{2}=\mathrm {M}$

sera dans le cas du Théorème du n^o 38, et se résoudra par conséquent par la méthode que nous y avons indiquée.

Ainsi il n’y aura qu’à faire le calcul suivant

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {Q} _{0}&=0,&\mathrm {P} _{0}&=1,&\mu \ \,&<{\sqrt {\mathrm {A} }},\\\mathrm {Q} _{1}&=\mu ,&\mathrm {P} _{1}&=\mathrm {Q_{1}^{2}-A} ,&\mu _{1}&<\mathrm {\frac {-Q_{1}-{\sqrt {A}}}{P_{1}}} ,\\\mathrm {Q} _{2}&=\mu _{1}\mathrm {P_{1}+Q_{1}} ,&\mathrm {P} _{2}&=\mathrm {\frac {Q_{2}^{2}-A}{P_{1}}} ,&\mu _{2}&<\mathrm {\frac {-Q_{2}+{\sqrt {A}}}{P_{2}}} ,\\\mathrm {Q} _{3}&=\mu _{2}\mathrm {P_{2}+Q_{2}} ,\qquad &\mathrm {P} _{3}&=\mathrm {\frac {Q_{3}^{2}-A}{P_{2}}} ,\qquad &\mu _{3}&<\mathrm {\frac {-Q_{3}-{\sqrt {A}}}{P_{3}}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$