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où $\mathrm {N^{2}-LM=A} ,$ et où $2\mathrm {N}$ n’est ni $>\mathrm {L}$ ni $>\mathrm {M}$ (abstraction faite des signes). Or, $\mathrm {M}$ étant le plus petit des deux coefficients $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M} ,$ qu’on multiplie toute l’équation par ce coefficient $\mathrm {M} ,$ et faisant

$\upsilon =\mathrm {M} \psi -\mathrm {N} \xi ,$

il est clair qu’elle se changera en celle-ci

$\upsilon ^{2}-\mathrm {A} \xi ^{2}=\mathrm {M} ,$

dans laquelle il faudra maintenant distinguer les deux cas de $\mathrm {A}$ positif et de $\mathrm {A}$ négatif.

Soit :

1^o $\mathrm {A}$ négatif et $=-a,$ $a$ étant un nombre positif ; l’équation sera donc

$\upsilon ^{2}+a\xi ^{2}=\mathrm {M} .$

Or, comme $\mathrm {N^{2}-LM=A} ,$ on aura $a=\mathrm {LM-N^{2}} \,;$ d’où l’on voit d’abord que les nombres $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M}$ doivent être de même signe ; d’ailleurs $2\mathrm {N}$ ne doit être ni $>\mathrm {L}$ ni $>\mathrm {M} \,;$ donc $\mathrm {N} ^{2}$ ne sera pas $>\mathrm {\frac {LM}{4}} \,;$ donc $a=$ ou $>{\frac {3}{4}}\mathrm {LM} \,;$ et, puisque $\mathrm {M}$ est supposé moindre que $\mathrm {L} ,$ ou au moins pas plus grand que $\mathrm {L} ,$ on aura à plus forte raison $a=$ ou $>{\frac {3}{4}}\mathrm {M} ^{2}$ donc $\mathrm {M} =$ ou $<{\sqrt {\frac {4a}{3}}}\,;$ donc $\mathrm {M} <{\frac {4}{3}}{\sqrt {a}}.$

On voit par là que l’équation

$\upsilon ^{2}+a\xi ^{2}=\mathrm {M}$

ne saurait subsister dans l’hypothèse que $\upsilon$ et $\xi$ soient des nombres entiers, à moins que l’on ne fasse $\xi =0$ et $\upsilon ^{2}=\mathrm {M} ,$ ce qui demande que $\mathrm {M}$ soit un nombre carré.

Supposons donc $\mathrm {M} =\mu ^{2},$ et l’on aura $\xi =0,\ \upsilon =\pm \mu \,;$ donc, par l’équation

$\upsilon =\mathrm {M} \psi -\mathrm {N} \xi ,$

on aura

$\mu ^{2}\psi =\pm \mu ,\quad {\text{et par conséquent}}\quad \psi =\pm {\frac {1}{\mu }}\,;$