que
alors
ne surpassera pas
Ainsi, si
ne surpasse pas non plus
la transformée précédente sera déjà dans le cas qu’on a en vue ; mais, si
est plus grand que
on continuera alors à supposer
ce qui donnera la nouvelle transformée
![{\displaystyle \mathrm {B} _{3}y_{2}^{2}-2n_{2}y_{2}y_{3}+\mathrm {B} _{2}y_{3}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a474d6d9cdb832b3e7c7fd8a3a912418555a18fa)
où
![{\displaystyle n_{2}=n-m_{1}\mathrm {B} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72cfc23aea6e2fc1ab632d1a61d0b9f95056c027)
![{\displaystyle \mathrm {B} _{3}=m_{1}^{2}\mathrm {B} _{2}-2m_{1}n_{1}+\mathrm {B} _{1}={\frac {n_{2}^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {B} _{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713a977b62ed450959a2cc8932c2fea010bc7de6)
On déterminera le nombre entier
en sorte que
ne soit pas plus grand que
moyennant quoi
ne surpassera pas
de sorte que l’on aura la transformée cherchée, si
ne surpasse pas non plus
mais, si
surpasse
on supposera de nouveau
etc.
Or il est visible que ces opérations ne peuvent pas aller à l’infini ; car, puisque
est plus grand que
et que
ne l’est pas, il est clair que
sera moindre que
de même,
est plus grand que
et
ne l’est pas ; donc
sera moindre que
et ainsi de suite, de sorte que les nombres
formeront une suite décroissante de nombres entiers, laquelle ne pourra par conséquent pas aller à l’infini. On parviendra donc nécessairement à une formule où le coefficient du terme moyen ne sera pas plus grand que ceux des deux termes extrêmes, et qui aura d’ailleurs les autres propriétés que nous avons énoncées ci-dessus, ce qui est évident par la nature même des transformations pratiquées.
Pour faciliter la transformation de la formule
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6567ab5c066ae52a7bb5458a697c3cbfae55cbfa)
en celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {L\xi ^{2}-2M\xi \psi +N\psi ^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0338fa7a76b2a78aeb2ffeddb8270c5efb5195ea)
je désigne par
le plus grand des deux coefficients extrêmes
et
et