Troisième cas, lorsque
à un carré.
69. Dans ce cas le nombre
deviendra rationnel, et la quantité
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6567ab5c066ae52a7bb5458a697c3cbfae55cbfa)
pourra se décomposer en deux facteurs rationnels. En effet, cette quantité n’est autre chose que celle-ci
![{\displaystyle {\frac {(\mathrm {C} y-nz)^{2}-\mathrm {A} z^{2}}{\mathrm {C} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b98fbd16d7085e208fd63f1d27663c10725c56)
laquelle, en supposant
peut se mettre sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {\left[\mathrm {C} y-(n+a)z\right]\left[\mathrm {C} y-(n-a)z\right]}{\mathrm {C} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb7f128159545b4743999d1ebdedc2a48abd0c2)
Or, comme
![{\displaystyle n^{2}-a^{2}=\mathrm {BC} =(n+a)(n-a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92cb97d40d09913e77f784335873c6ec880797c8)
il faudra que le produit de
par
soit divisible par
et par conséquent que l’un de ces deux nombres
et
soit divisible par un des facteurs de
et l’autre par le facteur réciproque. Supposons donc
et que
et
et
étant des nombres entiers, et la quantité précédente deviendra le produit de ces deux facteurs linéaires
et
donc, puisque ces deux facteurs sont égaux à des nombres entiers, il est clair que leur produit ne saurait être
comme l’équation proposée le demande, à moins que chacun d’eux ne soit en particulier
On fera donc
![{\displaystyle cy-fz=\pm 1,\quad by-gz=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfaf448d18ae330fff63d8c3df5e92955f5c438)
et l’on déterminera par là les nombres
et
si ces nombres se trouvent entiers, on aura la solution de l’équation proposée ; sinon, elle sera insoluble, au moins en nombres entiers.